Cálculo del área de un pentágono regular, conocido el radio de la circunferencia circunscrita

ENUNCIADO. Calcular el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de $4$ centímetros de radio.

SOLUCIÓN.
En la figura podemos ver como el pentágono regular se descompone en $10$ triángulos rectángulos cuyos catetos hemos denotado por $a$ y $c$, entonces el área pedida es $$\text{Área}=10\cdot \dfrac{c\cdot a}{2}=5\cdot c\cdot a \quad \quad (1)$$ Procedemos a calcular la longitud de $c$ y de $a$ empleando la trigonometría elemental.

$$c=4\cdot \sin\,(360^{\circ}/10)=4\cdot \sin\,36^{\circ}$$
$$a=4\cdot \cos\,(360^{\circ}/10)=4\cdot \cos\,36^{\circ}$$ Y sustituyendo en (1) $$\text{Área}=80 \cdot \sin\,36^{\circ} \cdot \cos\,36^{\circ} \approx 38\,\text{cm}^2$$
$\square$