Estudio analítico de una recta en el plano

ENUNCIADO. Sean los puntos del plano $A(1,1)$ y $B(3,-1)$. Se pide:
a) La ecuación de la recta en forma explícita que pasa por dichos puntos
b) La distancia euclídea entre ambos puntos
c) Un vector director de la recta (que pasa por $A$ y $B$), su módulo y su ángulo polar
d) Una ecuación vectorial de la recta que pasa por $A$ y $B$

SOLUCIÓN.
a)
La ecuación de la recta en forma explícita viene dada por $r:y=mx+k \quad \quad (1)$, donde el coeficiente $m$ representa la pendiente de la recta y el coeficiente $k$ la ordenada en el origen. Como $A$ está en $r$, sus coordenadas deberán cumplir (1), luego $$1=m+k$$ y, de forma análoga, como $B$ también está en $r$, sus coordenadas cumplen (1), con lo cual $$-1=3\,m+k$$ Par conocer el valor de $m$ y el valor de $k$ debemos pues resolver el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&1\\3\,m&+&k&=&-1\end{matrix}\right.$$ Restando la primera de la segunda ecuación se llega a la siguiente ecuación equivalente $2\,m=-2$ y por tanto $m=-1$ ( pendiente de la recta ), y sustituyendo este valor en la primera ecuación, encontramos $-1+k=1$ con lo cual $k=2$ ( la recta corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas $(0-2)$. Así, pues, la ecuación de la recta en forma explícita viene dada por $$r:y=-x+2$$

b)
$$\text{distancia euclídea}(A,B)\overset{\text{def}}{=}\left\|\vec{BA}\right\|=\left\|\vec{AB}\right\|=\left|\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\right|$$ Con los datos del problema, $$\text{distancia euclídea}(A,B)=\left|\sqrt{(3-1)^2+(-1-1)^2}\right|=\left|\sqrt{8}\right|=\left|2\,\sqrt{2}\right|$$

c)
Un vector director de $r$ es $$\vec{u}=\vec{AB}=(x_B-x_A\,,\,y_B-y_A)=(3-1\,,\,-1-1)=(2\,,\,-2)$$ El afijo de dicho vector es el punto de coordenadas $(2\,,\,-2)$, que está en el cuarto cuadrante, luego el ángulo polar $\alpha$ es mayor que $270^\circ$ y menor que $360^{\circ}$. Veamos cuál es su valor: Como $\tan\,\alpha=\dfrac{u_y}{u_x}=\dfrac{-2}{2}=-1$, podemos escribir que $\alpha=-45^{\circ}$, o lo que es equivalente ( usando el convenio positivo de signos del giro ), $360^{\circ}+(-45)^{\circ}=315^{\circ}$ El módulo del vector director que hemos tomado $\vec{u}=\vec{AB}$ ya lo hemos calculado en el apartado anterior, y recordemos que es igual a $$\left\|\vec{u}\right\|=\left|2\,\sqrt{2}\right|$$

d) Sea un punto cualquiera $P(x,y)$ de $r$, entonces deberá cumplirse que $$\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP} \quad \quad$$ donde $O(0,0)$ es el origen de coordenadas. Por otra parte, $\vec{AP}$ tiene la misma dirección que $\vec{AB}$, luego existe un escalar $\lambda$ tal que $\vec{AP}=\lambda\,\vec{AB}$, con lo cual podemos escribir (1) de la forma $$\vec{OP}=\vec{OA}+\lambda\,\vec{AB}$$ y como $\vec{AB}=(2\,,\,-2)$ y $A$ tiene coordenadas $(1,1)$, también podemos poner esto de la forma $$(x,y)=(1,1)+\lambda\,(2,-2)$$

$\square$