Área de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio dado

ENUNCIADO. Calcular el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de $4$ centímetros de radio.

SOLUCIÓN. Como un pentágono regular puede descomponerse en $5$ triángulos isósceles iguales, el área del mismo es igual a $5$ veces el área de uno de dichos triángulos; cada uno de dichos triángulos tiene lado $\ell$ ( que deberemos calcular ) y su altura es la apotema $a$ ( que también tendremos que calcular ) del pentágono inscrito en la circunferencia de radio dado ( $r=4\,\text{cm}$ ).

En este punto, se sugiere al lector que dibuje ( de forma esquemática ) el pentágono inscrito en la circunferencia y que anote los datos del problema, situando en dicha figura $\ell$ y $a$. Este paso es muy importante para que el/la lector/a llegue a comprender bien lo que viene a continuación. Por mi parte omito la figura, de manera intencionada.

Así pues el área pedida es igual a $$5\cdot \dfrac{\ell \cdot a}{2}$$ o lo que es lo mismo $$5 \cdot \dfrac{\ell}{2} \cdot a \quad \quad \quad (1)$$

Vamos a calcular ahora $\ell$ y $a$, empleando la trigonometría elemental. Para ello, observemos que cada uno de los cinco triángulos en los que se descompone el pentágono regular se descompone, a su vez, en dos triángulos rectángulos -- insisto en que el lector dibuje la figura --; tomando uno de ellos, la hipotenusa del mismo mide $4\, \text{cm}$ ( el radio de la circunferencia ) y los catetos son $\dfrac{\ell}{2}$ y $a$, respectivamente. El ángulo de este triángulo, cuyos lados son la hipotenusa $r=4\, \text{cm}$ y la apotema $a$ es la mitad del ángulo central del pentágono regular inscrito en la circunferencia, y, por tanto, su valor es $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{360^{\circ}}{5}=36^{\circ}$. Entonces, como $a$ hace las veces de cateto contiguo a dicho ángulo ( de $36^{\circ}$ ), podemos escribir $$a=4\cdot \cos\,36^{\circ}$$ y, por otra parte, como $\dfrac{\ell}{2}$ representa el cateto opuesto al ángulo de $36^{\circ}$, es claro que $$\dfrac{\ell}{2}=4\cdot \sin\,36^{\circ}$$ luego sustituyendo en (1) encontramos que el valor del área pedida es $$5\cdot 4\cdot \sin\,36^{\circ} \cdot 4\cdot \cos\,36^{\circ} \quad \quad \quad (2)$$ esto es $$5\cdot 4^2 \cdot \sin\,36^{\circ} \cdot \cos\,36^{\circ}$$ que es lo mismo que $$80\cdot \sin\,36^{\circ} \cdot \cos\,36^{\circ}\,\text{cm}^2$$

Observación:
Notemos que, de (2), podemos extraer fácilmente una fórmula general para un polígono regular de $n \ge 3$ vértices inscrito en una circunferencia de radio $r$ ( y por tanto de ángulo central $\alpha=\dfrac{360^{\circ}}{n}$, que es la siguiente $$A=n \cdot r^2 \cdot \sin\,\dfrac{\alpha}{2} \cdot \cos\,\dfrac{\alpha}{2}$$

$\square$