ESO4 - Propiedades de la composición de funciones. Función recíproca asociada a una función biyectiva

Obtención de la función recíproca asociada a una función biyecta empleando GeoGebra

Ejemplo de cálculo de la función recíproca asociada a una función biyectiva, empleando GeoGebra

Cálculo de la función recíproca asociada a una función biyectiva

ENUNCIADO. Dada la función biyectiva $f(x)=\log_2\,x$. Se pide:
a) Calcular la antiimagen ( por $f$ ) de $-2$
b) Determinar la función recíproca $f^{-1}(x)$ asociada a $f(x)$

SOLUCIÓN.
a) Teniendo en cuenta que $2=\log_2\,x$, deducimos ( por la definición de logaritmo ) que $x=2^2=4$, luego podemos decir que $f^{-1}(2)=4$

b) Escribiendo ( por comodidad ) $y$ en lugar de $f(x)$, vemos que $y=\log_2\,x$. Despejando $x$ de dicha ecuación, $x=2^y$. Así, pues, podemos decir que $f^{-1}(x)=2^x$ para todo $x \in \text{Im}\,f$
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Acerca de la función recíproca asociada a una función biyectiva

ENUNCIADO. Sea la función biyectiva $f(x)=\log_{2}\,x$. Se pide:
a) La antiimagen de $-2$
b) La función recíproca $f^{-1}(x)$ asociada a $f(x)$


SOLUCIÓN.
a) $$-2=\log_{2}=x \Leftrightarrow x=2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$$

b)
Por comodidad, podemos escribir $$y=2^x$$ Sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,y=\ln\,2^x$$ y por tanto $$\ln\,y=x\,\ln\,2$$ luego, despejando $x$ $$x=\dfrac{\ln\,y}{\ln\,2}$$ con lo cual podemos escribir $$f^{-1}(x)=\dfrac{\ln\,x}{\ln\,2}$$
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Función recíproca asociada a una función biyectiva

ENUNCIADO. Dada la función biyectiva $f(x)=2^{x+1}$, calcular la función recíproca $f^{-1}(x)$ y representar $f(x)$ y $f^{-1}(x)$ en un mismo diagrama cartesiano.

SOLUCIÓN. Escribiendo la función dada (por comodidad) de la forma $y=2^{x+1}$, y sacando logaritmos ( nos proponemos despejar la variable $x$ ), obtenemos $$\ln\,y=\ln\,2^{x+1}$$ y por las propiedades de los logaritmos, $$\ln\,y=(x+1)\cdot \ln\,2$$ y por tanto $$x=\dfrac{\ln\,y}{\ln\,2}-1$$ que nos da la estructura de la función recíproca $f^{-1}$ asociada a la función $f$; esto es, $$f^{-1}(x)=\dfrac{\ln\,x}{\ln\,2}-1$$

A continuación se muestra las gráficas de las funciones $f(x)$, $f^{-1}(x)$ y de la función identidad $\text{Id}(x)$ en un mismo diagrama. Es importante recordar que la gráfica de la función identidad ( recta bisectriz del los cuadrantes primero y tercero, pues $\text{Id}(x)=x$ es lo mismo que decir $y=x$ ) hace el papel de recta de simetría ( por reflexión ) de las gráficas de las funciones directa y recíproca.

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