Repartiendo un cierto número de bolas iguales en un conjunto de urnas

ENUNCIADO. ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $6$ bolas iguales en $4$ urnas ?.

SOLUCIÓN. No importa el orden en que ubiquemos las bolas en las urnas, por lo que este problema es de combinaciones. Además, podemos repetir la elección de urna a la hora de ubicar nuevas bolas, luego se trata de un problema de combinaciones con repetición. Para resolverlo, podemos codificar las formas de reparto formando 'palabras' a partir de $6$ símbolos '*' y $4-1=3$ símbolos '|' ( que delimitan los espacios que representan las $4$ urnas. Así, por ejemplo [ ** | * | *** | ] significa que $2$ bolas están en la primera urna, $1$ bola está en la segunda, $3$ en la tercera y ninguna en la cuarta. Permutando los $6+(4-1)$ símbolos ( de los cuales $6$ son de un mismo tipo y $4-1=3$ son también iguales, del segundo tipo ), obtenemos el siguiente número posibilidades de reparto $$\dfrac{6+(4-1)!}{6!\cdot (4-1)!}=\dfrac{9!}{6!\cdot 3!}=84$$

Nota: Podríamos haber escrito, directamente, la solución de la forma $\displaystyle CR_{4,6}=\binom{6+(4-1)}{6}=\binom{6-(4-1)}{4-1}$ que es lo mismo que $\dfrac{6+(4-1)!}{6!\cdot (4-1)!}$, pero se ha optado por realizar un desarrollo comprensivo. $\square$