¿ Aceptamos la apuesta ?

ENUNCIADO. Se extraen, sin reemplazamiendo, dos cartas de una baraja española ( con $48$ cartas ). Nos proponen la siguiente apuesta: en caso de que las dos cartas sean figuras obtenemos $+16$ puntos y en caso de que no sea así, obtenemos $-1$ punto. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de obtener dos figuras
b) Calcular la probabilidad de no obtener dos figuras
c) Calcular la ganancia esperada y decir, de forma razonada, si debemos aceptar dicha apuesta.

SOLUCIÓN.

a)
Denotemos por $F_1$ al suceso 'elgeir figura en la primera extracción' y por $F_2$ elegir figura en la segunda extracción.
Entonces $$P(F_1 \cap F_2)=P(F_1)\cdot P(F_2|F_1) \quad \quad (1)$$ siendo $P(F_1)=\dfrac{3\cdot 4}{48}=\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}$ y $P(F_2)=\dfrac{12-1}{48-1}=\dfrac{11}{47}$
Sustituyendo esas probabilidades en (1), $$P(F_1 \cap F_2)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{11}{47}=\dfrac{11}{188}$$

b) La probabilidad de no obtener ninguna figura es la del suceso contrario a $F_1 \cap F_2$, luego
$$P(\overline{F_1\cap F_2})=1-P(F_1 \cap F_2)=1-\dfrac{11}{188}=\dfrac{177}{188}$$

c) La ganancia esperada viende dada por $$E=(+16)\cdot \dfrac{11}{188}+(-1)\cdot \dfrac{177}{188}=-\dfrac{1}{188} \prec 0$$ luego no debemos aceptar la apuesta, pues, al ser la ganancia negativa, la condiciones de la misma no nos favorecen.
$\square$