Distribuyendo lápices

ENUNCIADO.
a) ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $5$ lápices distintos ( por ejemplo, cada uno de un color diferente al de los otros ) entre tres personas ( que son perfectamente identificables ) ?
b) Y si los lápices fuesen idénticos, ¿ de cuántas maneras podríamos distribuirlos?

SOLUCIÓN.
a) Si los lápices son distintos es evidente que importa el orden que empleamos al distribuirlos, pues, por ejemplo, no es lo mismo que a Carlos le demos el lápiz ( pongamos que ) rojo y a María el verde, que, a María le demos el rojo y a Carlos el verde; por tanto, se trata de un problema de variaciones. Además, podemos repetir la asignación de persona a la hora de repartir varios lápices; y, en este caso en particular, no hay otro remedio, pues el número de lápices es mayor que el número de personas. Se trata pues de un caso de variaciones con repetición. Supongamos que los colores de los respectivos lápices son: rojo, azul, verde, amarillo y negro. Así, podemos decidir dar el rojo a cualquiera de las tres personas, lo mismo con los otros cuatro lápices, luego por el principio de independencia de elecciones tenemos $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ posibilidades de reparto, esto es $$VR_{3,5}=3^5=243$$ Podemos decir que -- en general -- de haber $\ell$ lápices distintos, para ser repartidos entre $p$ personas, podríamos llevar a cabo dicho reparto del siguiente números de maneras distintas: $$\displaystyle \text{VR}_{p,\ell}= p^{\ell}$$

b) Si los lápices son idénticos no importa el orden del reparto, con lo cual tendremos un problema de combinaciones ( y no de variaciones ); además, y como en el caso anterior, al poder elegir una misma persona como destinataria de varios lápices ( en el caso que nos ocupa esto es inevitable, pues el número de lápices es mayor que el de personas ), se trata de un problema de combinaciones con repetición $\text{CR}_{3,5}$. Para resolverlo, es muy útil codificar las diversas ordenaciones posibles con los siguientes símbolos: asteriscos '*' para los $5$ lápices y $3-1=2$ barras verticales '|' para separar $3$ compartimentos en los que ubicaremos los asteriscos ( un compartimento para cada persona: A, B y C, y por este orden ). Así, por ejemplo, al escribir $[***|**| ]$ ( los símbolos de los extremos '[' y ']' no tienen ningún papel relevante ) queremos significar que a la persona A le corresponden tres lápices; a la persona B, dos; y, a la persona C, ninguno ( por no haber ningún asterisco en su compartimento ).

De esta forma, para calcular el número de distribuciones/repartos posibles, basta permutar el conjunto de los $5$ asteriscos iguales y las $3-1=2$ barras espaciadoras iguales, lo cual equivale al problema de formar 'palabras' permutando símbolos de dos tipos, de los cuales exactamente $5$ son de un tipo y $3-1=2$ son de otro tipo; obtenemos así $$\dfrac{(5 + (3-1))!}{5!\cdot 3!}=\dfrac{7!}{5!\cdot 2! }=\dfrac{7\cdot 6 }{2}=21 \;\text{posibilidades}$$, lo cual puede expresarse en forma de números combinatorios: $$\displaystyle \binom{5+(3-1)}{3-1}=\binom{5+(3-1)}{5}=21$$ Así, podemos decir que -- en general -- de haber $\ell$ lápices idénticos, para ser repartidos entre $p$ personas, podríamos llevar a cabo dicho reparto del siguiente números de maneras distintas: $$\displaystyle \text{CR}_{p,\ell}=\binom{\ell+(p-1)}{p}=\binom{\ell+(p-1)}{\ell-1}$$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{\ell}{p}\right)$

$\square$