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lunes, 19 de junio de 2017

Un ejercicio rutinario acerca del dominio y el conjunto imagen de una definición

ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función f(x)=\left|\sqrt{x^2-9}\right|

SOLUCIÓN. \text{Dom}\,f\overset{\text{def}}{=}\{x \in \mathbb{R}:f(x) \in \mathbb{R}\}=\{x \in \mathbb{R}: x^2-9\ge 0\}=(-\infty\,,\,-3] \cup (3\,,\,+\infty) ya que x^2-9=0 \Leftrightarrow x=\pm 3, luego para todo x \ge 3, f(x)\ge 0 y para todo x \le 3, también se cumple que f(x)\ge 0

\text{Im}\,f\overset{\text{def}}{=}\{y \in \mathbb{R}:y=f(x), \text{siendo}\, x \in \text{Dom}\,f\}. Entonces, como la función que nos ocupa es tal que f(3)=f(-3)=0 y es monótona creciente y no acotada superiormente, se tiene que \text{Im}\,f=[0\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}

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