Dominio de definición y conjunto imagen de una función logarítmica

ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\ln(-x+1)$

SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que $$D-f\overset{\text{def}}{=}\{x \in \mathbb{R}: f(x) \in \mathbb{R}\}$$ hay que imponer que $$-x+1\succ 0$$ con lo cual $$x \prec 1$$ así pues $$D_f=(-\infty\,,\,1) \subset \mathbb{R}$$

Calculemos ahora el conjunto imagen. Como $f$ es biyectiva, existe la función recíproca $f^{-1}$; y, por tanto, podremos afirmar que $$\text{Im}_f=D_{f^{-1}}$$ Veamos quien es $f^{-1}$: de $y=\ln\,{-x+1}$ deducimos que $-x+1=e^y$ y por tanto $x=1-e^y$; con lo cual $f^{-1}(x)=1-e^x$. Entonces, $D_{f^{-1}}=\mathbb{R}$ y por consiguiente $$\text{Im}_{f}=\mathbb{R}$$

Otra forma de determinar el conjunto imagen de $f$ consiste en deducirlo a partir de la gráfica de la función, que podemos representar transformando la gráfica de la función $y=\ln\,x$

En este gráfico podemos apreciar que $f$ es decrece monótonamente y que sus ordenadas barren el eje de ordenadas por completo, y, como consecuencia, el conjunto imagen está formado por todos los puntos de la recta numérica $\mathbb{R}$

$\square$