ESO4 - Propiedades de la composición de funciones. Función recíproca asociada a una función biyectiva

Operaciones con funciones. Composición de funciones.

Ejercicio 2 de la semana del 30 de marzo al 5 de abril de 2020 - Funciones. Composición de funciones

Ejercicio 6 de la página 227, Unidad 11, del libro base

ENUNCIADO. Dadas las siguientes funciones reales de una variable real:
$f(x)=5x-4$ y $g(x)=x^2+3x-1$
calcula:
a) $g \circ f$
b) $f \circ g$

INDICACIÓN. Lee las páginas 226 y 227, Unidad 11, del libro base
NOTA. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN. ( Haz clic en la imagen para verla en su tamaño natural )

Composición de funciones con GeoGebra

Un ejemplo de composición de funciones con GeoGebra

Otro ejercicio de composición de funciones

ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=x+1$ y $g(x)=x^2-1$. Se pide:
a) El valor de función $(f \circ g)(2)$
b) El valor de función $(g \circ f)(2)$
c) La función $g \circ f$ ($f$ compuesta con $g$)
d) La función $f \circ g$ ($g$ compuesta con $f$)

SOLUCIÓN.
a) $(f \circ g)(2)=f(g(2))=f(2^2-1)=f(3)=3+1=4$
b) $(g \circ f)(2)=g(f(2))=g(2+1)=g(3)=3^2-1=8$
c) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2-1=x^2+2x+1-1=x^2+2x$
      $=x\,(x+2)$
d) $(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=(x^2-1)+1=x^2$
$\square$

Un ejercicio rutinario sobre composición de funciones

ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=x+1$ y $g(x)=x^2-1$. Se pide:
a) La imagen de $2$ por la fución $f \circ g$
b) La imagen de $2$ por la fución $g \circ f$
c) La función $(g\circ f)(x)$ ( $f$ compuesta con $g$ ) para todo $x$ de su dominio de definición
d) La función $(f \circ g)(x)$ ( $g$ compuesta con $f$ ) para todo $x$ de su dominio de definición



SOLUCIÓN. Expongo la solución abajo. El proceso de resolución, con todos los pasos, es análogo al ejercicio resuelto al que podéis acceder desde [este enlace]. Se invita al lector/a a que reproduzca todos los cálculos:
a) $(f \circ g)(2)=4$
b) $(g \circ f)(2)=8$
c) $(g \circ f)(x)=x^2+x$
d) $(f \circ g)(x)=x^2$

$\square$

Ejercicio rutinario sobre composición de funciones

ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=x+1$ y $g(x)=x^3-1$. Se pide:
a) La imagen de $-3$ por la fución $f \circ g$
b) La imagen de $-3$ por la fución $g \circ f$
c) La función $(g\circ f)(x)$ ( $f$ compuesta con $g$ ) para todo $x$ de su dominio de definición
d) La función $(f \circ g)(x)$ ( $g$ compuesta con $f$ ) para todo $x$ de su dominio de definición

SOLUCIÓN.

a) $(f \circ g)(-3)=f(g(-3))=f((-3)^3-1)=f(-28)=-28+1=-27$

b) $(g \circ f)(-3)=g(f(-3))=g(-3+1)=f(-2)=(-2)^3-1=-8-1=-9$

c) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^3-1=x^3+3x^2+3x+1-1$
        $=x^3+3x^2+3x$

d) $(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x^3-1)=(x^3-1)+1=x^3$

$\square$

Composición de funciones

ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=x+1$ y $g(x)=x^2+x+1$. Se pide:
a) La función $g \circ f$ ($f$ compuesta con $g$)
b) La función $f \circ g$ ($g$ compuesta con $f$)
c) El valor de función $(f \circ g)(2)$
d) El valor de función $(g \circ f)(2)$

SOLUCIÓN.
a)
$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2+(x+1)+1$
  $=x^2+2x+1+x+1+1$
    $=x^2+3x+3$         (1)

b)
$(f \circ g)(x)=f(g(x))=g(x^2+x+1)=(x^2+x+1)+1$
  $=x^2+x+2$         (2)

c)
$(f \circ g)(2)=2^2+2+2$   ( sustituyendo $x$ por $2$ en (2) )
  $=4+2+2$
    $=8$

d)
$(g \circ f)(2)=2^2+3\cdot 2+3$   ( sustituyendo $x$ por $2$ en (1) )
  $=4+6+3$
    $=13$

$\square$

Introducción a las demostraciones matemáticas. Ejemplo: La operación composición de funciones no conmuta

ENUNCIADO. Demuéstrese que la operación composición de funciones no es conmutativa

SOLUCIÓN. Basta encontrar un contraejemplo. Supongamos que la composición de funciones sea conmutativa. Consideremos ahora dos funciones, pongamos que, $f(x):=2\,x+1$ y $g(x):=x+3$. Entonces, para todo $x$ de $D_f$ ( dominio de definición de $f$ ) y de $D_g$ ( dominio de definición de $g$ ) se cumple que $$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x+3)=2\,(x+3)+1=2\,x+6+1=2\,x+7$$ y, sin embargo, $$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(2\,x+1)=2\,(x+1)+3=2\,x+3+2=2\,x+5 \neq (f \circ g)(x)$$ que contradice la hipótesis de partida, luego se desprende de ello que, en general ( para todo par de funciones ) no se cumple la propiedad conmutativa, ya que, debido a la contradicción a la que hemos llegado, nos vemos obligados a negar la hipótesis de partida. $\square$

Un ejercicio de composición de funciones

ENUNCIADO. Dadas las funciones $f(x)=2x-1$ y $g(x)=-3x+5$, se pide:
a) La función ge compuesta con efe, $f \circ g$
b) La función efe compuesta con ge, $g \circ f$
c) ¿ Se puede decir que la operación composición de funciones es conmutativa ?

SOLUCIÓN.