Un caso de combinaciones con repetición

ENUNCIADO. En una tienda disponen de los siguientes tipos de refrescos: cola, limón, naranja y gaseosa. Una persona ha entrado en la tienda y ha comprado siete refrescos. ¿ Cuál es la probabilidad de que haya comprado "dos refrescos de cola, dos de limón, dos de naranja y una gaseosa" ?.

SOLUCIÓN. Denotemos el suceso pedido por $A$. Entonces, según la regla de Laplace ( todos los sucesos asociados a la realización del experimento aleatorio son igualmente probables ) $$P(A)=\dfrac{N(A)}{N} \quad \quad \quad (1)$$ donde $N$ es el número total de casos a considerar y $N(A)$ representa el número de casos favorables al suceso por el que nos interesamos. Procedamos, ahora, a calcular estas dos cantidades.

Obtener el número total de casos corresponde a resolver un problema de combinaciones ( pues no importa el orden en el que seleccionamos los refrescos adquiridos ); y, además, interesa ( desde luego ) que se pueda repetir la elección de los tipos de refrescos, pues se solicitan más unidades que el número de refrescos disponibles en la tienda. Se trata, pues, de un problema de combinaciones con repetición de cuatro clases de refrescos tomadas en grupos de siete, lo cual podemos abreviar así $CR_{4,7}$.

Este problema puede codificarse de la siguiente manera: colocando siete símbolos iguales ( uno para cada refresco que se quiere comprar ) en cuatro compartimentos ( tipos de refresco ), donde pongamos que el primero represente elección de cola; el segundo, elección de limón; el tercero, elección de naranja, y el cuarto, elección de gaseosa. Así, por ejemplo, $[**|*|***|*]$ ( los corchetes no juegan ningún papel relevante, sólo delimitan la 'palabra' ), significa que adquirimos $2$ colas, $2$ limonadas, $3$ naranjadas y $1$ gaseosa. Permutando ahora el conjunto de los $7$ símbolos iguales '*' y los $4-1$ símbolos ( iguales ) '|' de separación de los compartimentos, encontramos el siguiente número de ordenaciones posibles $$\dfrac{(7+(4-1))!}{7!\cdot (4-1)!}=120$$ lo cual puede expresarse en forma de número combinatorio $$\displaystyle \binom{7+(4-1)}{4-1}=\binom{7+(4-1)}{7}$$ Por tanto, $N=120$. En general, si hay $m$ tipos de refrescos en la tienda y queremos adquirir $n$ refrescos, podemos escribir $$\displaystyle \text{CR}_{m,n}=\binom{n+(m-1)}{m-1}=\binom{n+(m-1)}{n}$$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{m}{n}\right)$

Por lo que se refiere al número de casos favorables, $N(A)$, sólo hay $1$ caso, que corresponde a la ordenación $[**|**|**|*]$. Entonces, de (1), concluimos que la probabilidad pedida es $$P(A)=\dfrac{1}{120}$$

$\square$