Extracciones sucesivas sin reemplazamiento. Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Una urna contiene $5$ bolas rojas y $3$ bolas negras. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color ?.

SOLUCIÓN.
El diagrama de árbol puede ayudar a responder a la pregunta,

Observemos que la probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color viene dada por $$P( (R_1 \cap N_2) \cup (N_1 \cap R_2)) \quad \quad (1)$$ ahora bien, los sucesos $R_1 \cap N_2$ y $N_1 \cap R_2$ son incompatibles, luego (1) puede escribirse como $$P(R_1 \cap N_2) + P(N_1 \cap R_2) \quad \quad (2)$$ y teniendo en cuenta la definición de probabilidad condicionada, $$P(R_1 \cap N_2)=P(R_1)\cdot P(N_2|R_1)=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{3}{7}$$ y $$P(N_1 \cap R_2)=P(N_1)\cdot P(R_2|N_1)=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{5}{7}$$ luego la probabilidad pedida ( sustituyendo en (2) ) es igual a $$\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{28} \approx 0,5357$$

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