Cálculos rutinarios en combinatoria

ENUNCIADO. Calcular el número entero positivo resultante:\par
a) $C_{12,7}$
b) $VR_{3,4}$
c) $PR_{7}^{2,3,1,1}$ \par
d) $PC_{6}$
e) $P_{6}$
f) $CR_{3,5}$ \par
g) $\binom{8}{7}$
h) $4!$
i) $0!$

SOLUCIÓN.

a) $C_{12,7}=\dfrac{V_{12,7}}{P_7}=\dfrac{12!}{(12-7)!\cdot 7!}=\dfrac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{6! \cdot 7! }=\dfrac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }=792$

b) $VR_{3,4}=3^4=81$

c) $PR_{7}^{2,3,1,1}=\dfrac{7!}{3!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2}=420$

d) $PC_{6}=(6-1)!=5!=5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

e) $P_{6}=6!=6 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

f) $CR_{3,5}=\displaystyle \binom{5+(3-1)}{3-1}=\binom{5+(3-1)}{5}=\binom{7}{5}=\dfrac{7!}{(7-5)!\cdot 5!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!}=\dfrac{42}{2}=21$

g) $\displaystyle \binom{8}{7}=\binom{8}{8-7}=\binom{8}{1}=8$

h) $4!=4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

i) $0!=1$