Dominio de definición y conjunto imagen de una función

ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\left|\sqrt{x^2-9}\right|$

SOLUCIÓN. Sabemos que $\text{Dom}\,f\overset{\text{def}}{=}\{x\in \mathbb{R}:f(x)\in \mathbb{R}\}$ con lo cual deberá cumplirse que, en el caso dado, $x^2-9 \ge 0$. Observemos que $x^2-9=0 \Leftrightarrow x=\pm 3$, siendo $f(3^{+}) \succ 0$ y $f(-3^{-}) \succ 0$, mientras que $f(x)$ toma valores negativos en el intervalo $(-3,\,\,3)$, de lo cual deducimos que $\text{Dom}\,f=(-\infty\,,\,-3]\cup (3\,,\,+\infty)$

La función raíz cuadrada ( sea cual sea su argumento ) es positiva o nula, y no está acotada superiormente, luego $\text{Im}\,f=[0\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$

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Un ejercicio rutinario acerca del dominio y el conjunto imagen de una definición

ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\left|\sqrt{x^2-9}\right|$

SOLUCIÓN. $\text{Dom}\,f\overset{\text{def}}{=}\{x \in \mathbb{R}:f(x) \in \mathbb{R}\}=\{x \in \mathbb{R}: x^2-9\ge 0\}=(-\infty\,,\,-3] \cup (3\,,\,+\infty)$ ya que $x^2-9=0 \Leftrightarrow x=\pm 3$, luego para todo $x \ge 3$, $f(x)\ge 0$ y para todo $x \le 3$, también se cumple que $f(x)\ge 0$

$\text{Im}\,f\overset{\text{def}}{=}\{y \in \mathbb{R}:y=f(x), \text{siendo}\, x \in \text{Dom}\,f\}$. Entonces, como la función que nos ocupa es tal que $f(3)=f(-3)=0$ y es monótona creciente y no acotada superiormente, se tiene que $\text{Im}\,f=[0\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$

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