Otro ejercicio de probabilidad compuesta

ENUNCIADO. Una urna contiene 2 bolas amarillas, 6 bolas verdes y 7 bolas negras. Se extraen tres bolas de la urna, una tras otra, sin devolver las bolas que se van sacando de la urna. Calcúlese la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean del mismo color.

SOLUCIÓN. La urna contiene un total de $2+6+7=15$ bolas. La probabilidad pedida es igual a la probabilidad del suceso contrario ( la de haber entre las tres bolas extraídas al menos una que sea de un color distinto a las otras dos ); así pues, primero calcularemos la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, y, finalmente, restaremos esa probabilidad de la probabilidad total, esto es, de $1$.

Por la probabilidad compuesta, y teniendo en cuenta que el resultado de una extracción depende del resultado de la anterior ( extracciones dependientes ), la probabilidad de que las tres bolas sean amarillas es igual a $$\dfrac{2}{15}\cdot \dfrac{2-1}{15-1} \cdot \dfrac{2-2}{15-2}=0$$ Análogamente, la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean verdes es igual a $$\dfrac{6}{15}\cdot \dfrac{6-1}{15-1} \cdot \dfrac{6-2}{15-2}=\dfrac{4}{91}$$ y la probabilidad de que las tres bolas sean negras es $$\dfrac{7}{15}\cdot \dfrac{7-1}{15-1} \cdot \dfrac{7-2}{15-2}=\dfrac{1}{13}$$ Entonces, al no incompatibles los tres sucesos anteriores, la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color ( amarillas, verdes o bien negras ) es igual a $$0+\dfrac{4}{91}+\dfrac{1}{13}=\dfrac{11}{91}$$ Luego la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color es igual a $$1-\dfrac{11}{91}=\dfrac{80}{91}$$
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Un ejercicio de probabilidad compuesta

ENUNCIADO. Una urna contiene 3 bolas blancas, 4 bolas rojas y 5 bolas negras. Se extraen tres bolas de la urna, una tras otra, devolviendo las bolas que se van sacando a la urna antes de extraer la siguiente bola. Calcúlese la probabilidad de que las tres bolas extraídas no sean del mismo color.

SOLUCIÓN. La urna contiene un total de $3+4+5=12$ bolas. Por la probabilidad compuesta, y teniendo en cuenta que el resultado de una extracción no depende del resultado de la anterior ( extracciones independientes ), la probabilidad de que las tres bolas sean blancas es igual a $$\dfrac{3}{12}\cdot \dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{64}$$ Análogamente, la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean rojas es igual a $$\dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{27}$$ y la probabilidad de que las tres bolas sean negras es $$\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{5}{12}=\dfrac{125}{1728}$$ Entonces, al no incompatibles los tres sucesos anteriores, la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color ( blancas, rojas o negras ) es igual a $$\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{125}{1728}=\dfrac{1}{8}$$
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Aplicación del teorema de la probabilidad total para calcular la probabilidad de que una pieza elegida al azar entre dos conjuntos de piezas no sea defectuosa, teniendo en cuenta que ...

ENUNCIADO. En una taller hay dos máquinas, $A$ y $B$, que fabrican el mismo tipo de piezas. El $2\,\%$ de las piezas producidas por la máquina $A$ son defectuosas y el $4\,\%$ de las producidas por la máquina $B$ también lo son. Hemos mezclado $200$ piezas producidas por $A$ con $300$ piezas producidas por $B$ y hemos escogido una pieza, al azar. ¿ Cuál es la probabilidad de que no sea defectuosa ?.

SOLUCIÓN. El número total de piezas defectuosa es igual a $$200\cdot \dfrac{2}{100}+300\cdot \dfrac{4}{100}=16$$ y el número total de piezas es $$200+300=500$$ luego por el principio de Laplace ( todas las piezas tienen la misma probabilidad de ser elegidas ) la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa es igual a $$\dfrac{16}{500}$$ esto es $$\dfrac{4}{125}$$ Aplicando ahora la propiedad del suceso contrario, tenemos que la probabilidad de que no sea defectuosa es igual a $$1-\dfrac{4}{125}=\dfrac{121}{125}=0,968=96,8\,\%$$
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