Cálculos con parámetros estadísticos

ENUNCIADO. Se sabe que la media aritmética del siguiente conjunto de datos $\{1,4,a,b\}$ es $\dfrac{5}{2}$ y que la varianza es $s^2=\dfrac{5}{4}$. Calcular el valor de los datos $a$ y $b$.

SOLUCIÓN. Aplicando la definición de media, $$\bar{x}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1+4+a+b}{4}$$ y teniendo en cuenta su valor, podemos escribir la ecuación $$\dfrac{5+a+b}{4}=\dfrac{5}{2}$$ esto es $$a+b=5 \quad \quad \quad (1)$$ Por otra parte, por la definición de varianza $$s^2\overset{\text{def}}{=}\overline{x^2}-(\bar{x})^2$$ es decir $$\dfrac{1^2+4^2+a^2+b^2}{4}-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}$$ y simplificando, $$a^2+b^2=13 \quad \quad \quad (2)$$ Despejando $a$ de (1) y sustituyendo en $2$ llegamos a la siguiente ecuación en $b$ $$(5-b)^2+b^2=13$$ esto es $$2\,b^2-10\,b+12=0$$ con lo cual $$b=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{(-10)^2-4\cdot 2 \cdot 12}}{2\cdot 2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ \\ 3\end{matrix}\right.$$ Entonces, si $b=3$ deducimos de (1) que $a=2$; y vice versa, si $b=2$ deducimos de (1) que $a=3$; luego los valores pedidos son $2$ y $3$. $\square$