ENUNCIADO. Ejercicio 85 de la página 192 del libro base ( Unidad Didáctica 9) - ligeramente modificado -
Halla la longitud el segmento determinado por los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta $r\equiv 3x+4y-12=0$, así como el ángulo que forma dicha recta con el eje de abscisas.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Determinemos los puntos de corte de $r$ con los ejes de coordenadas. Para $x:=0$, resulta $y=3$ $\rightarrow B(0,3)$; y para $y:=0$, resulta $x=4$ $\rightarrow A(4,0)$, luego $\text{distancia}(A,B)=|\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}|=|\sqrt{25}|=5$ unidades de longitud
Calculemos ahora $\measuredangle\,(r,Ox^+)$. Escribiendo la ecuación de $r$ en forma explícita, tenemos $r\equiv y=-\dfrac{3}{4}\,x+3$, luego $\tan(\measuredangle\,(r,Ox^+))=-3/4 \Rightarrow \measuredangle\,(r,Ox^+)=\text{arctan}(-3/4)=-36º52'$ que equivale a $180º-36º52'=143º8'$
$\square$
domingo, 24 de mayo de 2020
Ejercicio 9 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Resolución de triángulos rectángulos. Ecuaciones trigonométricas
ENUNCIADO. Ejercicio 104 de la página 172 del libro base ( Unidad Didáctica 7) - ligeramente modificado -
Resuelve la ecuación trigonométrica en el intervalo $[0,4\,\pi]$ ( radianes ) $$\tan\,x+3\,\text{cotan}\,x=4$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\tan\,x+3\,\text{cotan}\,x=4$
$\tan\,x+\dfrac{3}{\tan\,x}=4$
$\tan^2\,x+3=4\,\tan\,x$
$\tan^2\,x-4\,\tan\,x+3=0$
Renombrando: $y\dot{=}\tan\,x$
$y^2-4\,y+3=0 \Rightarrow y=\left\{\begin{matrix}3 \\ 1\end{matrix}\right.$
Para $y=\tan\,x=1 \Rightarrow x_1=\pi/4\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_2=\pi/4+\pi=\dfrac{5}{4}\,\pi\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante); $x_3=\pi/4+2\,\pi=\dfrac{9}{4}\pi\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_4=\dfrac{5}{4}\,\pi/4+2\,\pi=\dfrac{13}{4}\pi\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante )
Para $y=\tan\,x=3 \Rightarrow x_1=\text{arctan}(3)=1,2490\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_2=1,2490+\pi=4,3960\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante); $x_3=1,2490+2\,\pi=7,5322\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_4=4,3906+2\,\pi=10,6738\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante)
$\square$
Resuelve la ecuación trigonométrica en el intervalo $[0,4\,\pi]$ ( radianes ) $$\tan\,x+3\,\text{cotan}\,x=4$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\tan\,x+3\,\text{cotan}\,x=4$
$\tan\,x+\dfrac{3}{\tan\,x}=4$
$\tan^2\,x+3=4\,\tan\,x$
$\tan^2\,x-4\,\tan\,x+3=0$
Renombrando: $y\dot{=}\tan\,x$
$y^2-4\,y+3=0 \Rightarrow y=\left\{\begin{matrix}3 \\ 1\end{matrix}\right.$
Para $y=\tan\,x=1 \Rightarrow x_1=\pi/4\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_2=\pi/4+\pi=\dfrac{5}{4}\,\pi\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante); $x_3=\pi/4+2\,\pi=\dfrac{9}{4}\pi\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_4=\dfrac{5}{4}\,\pi/4+2\,\pi=\dfrac{13}{4}\pi\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante )
Para $y=\tan\,x=3 \Rightarrow x_1=\text{arctan}(3)=1,2490\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_2=1,2490+\pi=4,3960\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante); $x_3=1,2490+2\,\pi=7,5322\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_4=4,3906+2\,\pi=10,6738\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante)
$\square$
Ejercicio 8 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - semejanza y trigonometría
ENUNCIADO. Ejercicio 109 de la página 152 del libro base ( Unidad Didáctica 6)
¿ Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\sin\,\alpha=4/5$ y $\cos\,\alpha=3/4$ ? [ Razona la respuesta ]
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. No se cumple la identidad fundamental de la trigonometría: $\sin^2\,\alpha + \cos^2\,\alpha = 1$, para todo valor de $\alpha$; en efecto: $(4/5)^2+(3/4)^2 \neq 1$. Así pues, no existe ningún valor de $\alpha$ para el que se den las condiciones del enunciado. $\square$
¿ Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\sin\,\alpha=4/5$ y $\cos\,\alpha=3/4$ ? [ Razona la respuesta ]
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. No se cumple la identidad fundamental de la trigonometría: $\sin^2\,\alpha + \cos^2\,\alpha = 1$, para todo valor de $\alpha$; en efecto: $(4/5)^2+(3/4)^2 \neq 1$. Así pues, no existe ningún valor de $\alpha$ para el que se den las condiciones del enunciado. $\square$
Ejercicio 7 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - sistemas de inecuaciones
ENUNCIADO. Ejercicio 88 de la página 120 del libro base ( Unidad Didáctica 6)
El número de unidades de dos productos A y B que una tienda puede vender es, como máximo, igual a 100. Dispone de 60 unidades de producto del tipo A y de 70 unidades del producto de tipo B. Escribe el sistema de inecuaciones que representan el recinto de las posibles soluciones en el plano.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. $$\mathcal{R} \equiv \left\{\begin{matrix}a+b\le 100 \\ a\le 60 \\ b\le 70\end{matrix}\right.$$
Nota. Si se representa dicha región del plano puede comprobarse fácilmente que se trata de un pentágono irregular convexo en el primer cuadrante.
$\square$
El número de unidades de dos productos A y B que una tienda puede vender es, como máximo, igual a 100. Dispone de 60 unidades de producto del tipo A y de 70 unidades del producto de tipo B. Escribe el sistema de inecuaciones que representan el recinto de las posibles soluciones en el plano.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. $$\mathcal{R} \equiv \left\{\begin{matrix}a+b\le 100 \\ a\le 60 \\ b\le 70\end{matrix}\right.$$
Nota. Si se representa dicha región del plano puede comprobarse fácilmente que se trata de un pentágono irregular convexo en el primer cuadrante.
$\square$
sábado, 23 de mayo de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Sistemas de ecuaciones
ENUNCIADO. Ejercicio 59 de la página 102 del libro base ( Unidad Didáctica 5)
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \\ \\ \\ \dfrac{x+3}{3}=\dfrac{x}{2}\end{matrix}\right.$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2y}{xy}+\dfrac{x}{xy}=\dfrac{2xy}{xy} \\ \\ \\ \dfrac{2(x+3)}{6}=\dfrac{3x}{6}\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2y +x = 2xy\\ 2x+6=3x\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2y +x = 2xy\\ x=6\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2y +6 = 12y\\ x=6\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 10y = 6\\ x=6\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} y = 3/5\\ x=6\end{matrix}\right.$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \\ \\ \\ \dfrac{x+3}{3}=\dfrac{x}{2}\end{matrix}\right.$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2y}{xy}+\dfrac{x}{xy}=\dfrac{2xy}{xy} \\ \\ \\ \dfrac{2(x+3)}{6}=\dfrac{3x}{6}\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2y +x = 2xy\\ 2x+6=3x\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2y +x = 2xy\\ x=6\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 2y +6 = 12y\\ x=6\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} 10y = 6\\ x=6\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} y = 3/5\\ x=6\end{matrix}\right.$
Ejercicio 5 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Ecuaciones con términos exponenciales. Crecimiento exponencial
ENUNCIADO. Ejercicio 198 de la página 84 del libro base ( Unidad Didáctica 4 )
Se tiene un cultivo de células que se reproducen por bipartición cada hora. Si se tienen inicialmente 5 células, ¿ cuántas horas han de transcurrir para que en el cultivo haya 5120 células ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $t$ el tiempo que tiene que transcurrir para que se cumpla la condición del enunciado, entonces podemos plantear la siguiente ecuación exponencial: $$5120=5\cdot 2^t$$
esto es
$\dfrac{5120}{5}=2^t$
$1024=2^t$
$2^10=2^t \Rightarrow t=10\,\text{horas}$
Se tiene un cultivo de células que se reproducen por bipartición cada hora. Si se tienen inicialmente 5 células, ¿ cuántas horas han de transcurrir para que en el cultivo haya 5120 células ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $t$ el tiempo que tiene que transcurrir para que se cumpla la condición del enunciado, entonces podemos plantear la siguiente ecuación exponencial: $$5120=5\cdot 2^t$$
esto es
$\dfrac{5120}{5}=2^t$
$1024=2^t$
$2^10=2^t \Rightarrow t=10\,\text{horas}$
Ejercicio 4 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Resolución de problemas aritméticos mediante el álgebra. Ecuaciones
ENUNCIADO. Ejercicio 54 de la página 77 del libro base ( Unidad Didáctica 4 ) - ligeramente modificado -
En una tienda se compraron unos adornos de porcelana por 629 euros. Se rompieron tres, y los que quedaron se vendieron por 4 euros más de lo que costaron. Si se obtuvo un beneficio aproximado de 85 euros. Haz una estimación del número de adornos que se compraron.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de adornos que se compraron, entonces podemos plantear la siguiente ecuación ( de acuerdo con la información del enunciado):
$$629-(x-3)(\dfrac{629}{x}+4)=85$$
esto es
$629-(x-3)(\dfrac{629+4x}{x})=85$
$629x-(x-3)(629+4x)=85x$
$629x-85x-4x^2-617x+1887=0$
$4x^2+73x-1887=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-73\pm \sqrt{73^2-4\cdot 4 \cdot (-1887)}}{2\cdot 4} \approx 14 \,\text{adornos}$
En una tienda se compraron unos adornos de porcelana por 629 euros. Se rompieron tres, y los que quedaron se vendieron por 4 euros más de lo que costaron. Si se obtuvo un beneficio aproximado de 85 euros. Haz una estimación del número de adornos que se compraron.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de adornos que se compraron, entonces podemos plantear la siguiente ecuación ( de acuerdo con la información del enunciado):
$$629-(x-3)(\dfrac{629}{x}+4)=85$$
esto es
$629-(x-3)(\dfrac{629+4x}{x})=85$
$629x-(x-3)(629+4x)=85x$
$629x-85x-4x^2-617x+1887=0$
$4x^2+73x-1887=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-73\pm \sqrt{73^2-4\cdot 4 \cdot (-1887)}}{2\cdot 4} \approx 14 \,\text{adornos}$
Ejercicio 3 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Fracciones algebraicas
ENUNCIADO. Ejercicio 104 de la página 65 del libro base ( Unidad Didáctica 3 )
Simplifica: $$\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{x^2-y^2}$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{x^2-y^2}=$
$=\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}-\dfrac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)}-\dfrac{2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x(x+y)-x(x-y)-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x^2+xy-x^2+xy-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{2\,xy-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=2\dfrac{(x-y)y}{(x-y)(x+y)}$
$=2\dfrac{y}{x+y}$
Simplifica: $$\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{x^2-y^2}$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{x^2-y^2}=$
$=\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}-\dfrac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)}-\dfrac{2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x(x+y)-x(x-y)-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x^2+xy-x^2+xy-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{2\,xy-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=2\dfrac{(x-y)y}{(x-y)(x+y)}$
$=2\dfrac{y}{x+y}$
Ejercicio 2 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Operaciones con números reales. Proporción áurea.
ENUNCIADO. Ejercicio 97 de la página 40 del libro base ( Unidad Didáctica 2 ) - ligeramente modificado -
Las medidas de un cierto rectángulo están en proporción áurea, es decir, el cociente entre la medida del largo y la medida del ancho es el número de oro $\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. Si el ancho mide 53 mm, ¿ cuánto mide el largo ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el largo del rectángulo, entonces: $$\dfrac{x}{53}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=53\cdot \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 86\,\text{mm}$$
Las medidas de un cierto rectángulo están en proporción áurea, es decir, el cociente entre la medida del largo y la medida del ancho es el número de oro $\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. Si el ancho mide 53 mm, ¿ cuánto mide el largo ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el largo del rectángulo, entonces: $$\dfrac{x}{53}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \Rightarrow x=53\cdot \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 86\,\text{mm}$$
Ejercicio 1 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Números reales. Aproximaciones y errores.
ENUNCIADO. Ejercicio 70 de la página 20 del libro base ( Unidad Didáctica 1 )
Se oncstruye un ortoedro de dimensiones 5,5 cm x 10,6 cm x 8,6 cm para almacenar medio litro de líquido. ¿ Qué error relativo se está cometiendo ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. El volumen del ortoedro con las medidas dadas es igual a $5,5\cdot 10,6\cdot 8,6 = 501,38\,\text{cm}^3$. Por otra parte, $1/2$ litro de líquido equivale a $0,5\,\text{L}$, que deberían ocupar un volumen de $500\,\text{cm}^3$; entonces el error absoluto en la previsión de la cabida del depósito es igual a $|501,38-500|=1,38\,\text{cm}^3$, por lo que se comete un error relativo igual a $\dfrac{1,38}{500}=0,00276\approx 0,28\,\%$
Se oncstruye un ortoedro de dimensiones 5,5 cm x 10,6 cm x 8,6 cm para almacenar medio litro de líquido. ¿ Qué error relativo se está cometiendo ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. El volumen del ortoedro con las medidas dadas es igual a $5,5\cdot 10,6\cdot 8,6 = 501,38\,\text{cm}^3$. Por otra parte, $1/2$ litro de líquido equivale a $0,5\,\text{L}$, que deberían ocupar un volumen de $500\,\text{cm}^3$; entonces el error absoluto en la previsión de la cabida del depósito es igual a $|501,38-500|=1,38\,\text{cm}^3$, por lo que se comete un error relativo igual a $\dfrac{1,38}{500}=0,00276\approx 0,28\,\%$
miércoles, 20 de mayo de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Probabilidad. Principio de Laplace. Diagramas cartesianos. Tablas
ENUNCIADO. Lanzamos dos dados de parchís, con sus caras numeradas del 2 al 7. ¿ Cuál es la probabilidad de que los resultados de ambos dados sean números primos entre sí ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
( Haz clic en la imagen para verla a tamaño natural )
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
( Haz clic en la imagen para verla a tamaño natural )
Ejercicio 5 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Probabilidad. Uso de diagramas cartesianos para calcular probabilidades. Principio de Laplace
ENUNCIADO. Lanzamos dos veces un dado en forma de octaedro, con las caras numeradas del 1 al 8. ¿ Cuál es la probabilidad de que el resultado de la segunda tirada supere al de la primera ?.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
( Haz clic en la imagen para verla a tamaño natural )
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
( Haz clic en la imagen para verla a tamaño natural )
Ejercicio 4 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Probabilidad. Sucesos condicionados. Tablas de contingencia
ENUNCIADO. Un 80% de los estudiantes de un centro escolar de 1100 estudiantes practican alguna actividad deportiva. De los que hacen deporte, un 45% son chicas, y de los que no, un 35% son chicos. Elegido un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que sea:
a) un chico
b) una chica
c) un estudiante que haga deporte
d) un estudiante que no haga de porte
e) una chica, y que no haga deporte
f) alguien que no haga deporte, sabiendo que se trata de una chica
g) una chica, sabiendo que no hace deporte
AYUDA. Utiliza una tabla de contingencia como las has visto en cursos anteriores.
( Haz clic sobre la imagen para verla en tamaño natural )
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a) un chico
b) una chica
c) un estudiante que haga deporte
d) un estudiante que no haga de porte
e) una chica, y que no haga deporte
f) alguien que no haga deporte, sabiendo que se trata de una chica
g) una chica, sabiendo que no hace deporte
AYUDA. Utiliza una tabla de contingencia como las has visto en cursos anteriores.
( Haz clic sobre la imagen para verla en tamaño natural )
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
martes, 19 de mayo de 2020
Ejercicio 3 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Experimentos aleatorios. Nociones de álgebra de sucesos.
Ejercicio 43 de la página 309 del libro base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO. Sean el espacio muestral $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, asociado a una cierta experiencia aleatoria $\mathcal{E}$; y, $A=\{1,3,5,7\}$ y $B=\{3,6,9\}$, dos sucesos compuestos. Se pide:
a) Escribe el conjunto de elementos que están en $A \cup B$ ( A unión de B )
b) Escribe el conjunto de elementos que están en $A \cap B$ ( A intersección de B )
c) ¿ $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles ?
d) Escribe el conjunto de elementos que están en $\bar{A}$ ( suceso contrario de A )
e) Escribe el conjunto de elementos que están en $\bar{B}$ ( suceso contrario de B )
AYUDA. Lee las páginas 302 y 303 del libro base
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a)
$A \cup B = \{1,3,5,7\} \cup \{3,6,9\} = \{1,3,5,7,9\}$
b)
$A \cap B = \{1,3,5,7\} \cap \{3,6,9\} = \{3\}$
c)
$A \cap B = \{3\} \neq \emptyset \Rightarrow$ los sucesos $A$ y $B$ son campatibles
Nota: $\emptyset$ designa el conjunto vacío
d)
$\bar{A}\overset{\text{def}}{=}\Omega \setminus A =\{2,4,6,8,9,10\}$ ( todos los elementos de $\Omega$, a excepción de los que están en A )
e)
$\bar{B}\overset{\text{def}}{=}\Omega \setminus B =\{1,2,4,5,7,8,10\}$ ( todos los elementos de $\Omega$, a excepción de los que están en B )
ENUNCIADO. Sean el espacio muestral $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, asociado a una cierta experiencia aleatoria $\mathcal{E}$; y, $A=\{1,3,5,7\}$ y $B=\{3,6,9\}$, dos sucesos compuestos. Se pide:
a) Escribe el conjunto de elementos que están en $A \cup B$ ( A unión de B )
b) Escribe el conjunto de elementos que están en $A \cap B$ ( A intersección de B )
c) ¿ $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles ?
d) Escribe el conjunto de elementos que están en $\bar{A}$ ( suceso contrario de A )
e) Escribe el conjunto de elementos que están en $\bar{B}$ ( suceso contrario de B )
AYUDA. Lee las páginas 302 y 303 del libro base
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a)
$A \cup B = \{1,3,5,7\} \cup \{3,6,9\} = \{1,3,5,7,9\}$
b)
$A \cap B = \{1,3,5,7\} \cap \{3,6,9\} = \{3\}$
c)
$A \cap B = \{3\} \neq \emptyset \Rightarrow$ los sucesos $A$ y $B$ son campatibles
Nota: $\emptyset$ designa el conjunto vacío
d)
$\bar{A}\overset{\text{def}}{=}\Omega \setminus A =\{2,4,6,8,9,10\}$ ( todos los elementos de $\Omega$, a excepción de los que están en A )
e)
$\bar{B}\overset{\text{def}}{=}\Omega \setminus B =\{1,2,4,5,7,8,10\}$ ( todos los elementos de $\Omega$, a excepción de los que están en B )
Ejercicio 2 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Estadística de dos variables. Noción de correlación estadística entre dos variables
Ejercicio 30 de la página 287 del libro base
ENUNCIADO.
( Haz clic sobre la imagen para verla en tamaño natural )
SUGERENCIA ( Ampliación ). Lee esta otra entrada de este mismo blog.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a) En las tres gráficas se relacionan dos magnitudes ( dos variables): la cantidad de forraje que sirve de alimento a las vacas y la leche que producen
b) Hay 20 puntos en cada gráfica, luego se está hablando de 20 vacas
c)
En la gráfica de la izquierda, la correlación estadística entre la cantidad de alimento que consumen las vacas y la cantidad de leche que producen es negativa ( cuánto más comen menos leche dan ), lo cual no tiene mucho sentido, a menos que se produzca una situación muy anómala ( sobre la que no se nos piede que hagamos conjeturas ); por lo demás, los puntos tienden a situarse alrededor de una recta teórica ( existe correlación estadística ), que se llama recta de regresión lineal.
En la gráfica central se expone una situación en la que no existe correlación estadística entre las dos variables, ya que los puntos aparecen distribuidos al azar por todo el plano, lo cual también es una situación un tanto extraña.
La tercera gráfica (por la izquierda) es la que tiene más verosimilitud. Los puntos también están alrededor de la recta teórica ( recta de regresión lineal ) y, además, se ajustan mejor a ella que los de la primera gráfica por la izquierda - decimos que hay un mayor grado de correlación estadística entre las dos variables -. La pendiente de dicha recta es positiva ( decimos que la correlación entre las dos variables es positiva ), tal y como cabría esperar, pues cuánto más coman, en principio, más leche se espera que den.
ENUNCIADO.
( Haz clic sobre la imagen para verla en tamaño natural )
SUGERENCIA ( Ampliación ). Lee esta otra entrada de este mismo blog.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a) En las tres gráficas se relacionan dos magnitudes ( dos variables): la cantidad de forraje que sirve de alimento a las vacas y la leche que producen
b) Hay 20 puntos en cada gráfica, luego se está hablando de 20 vacas
c)
En la gráfica de la izquierda, la correlación estadística entre la cantidad de alimento que consumen las vacas y la cantidad de leche que producen es negativa ( cuánto más comen menos leche dan ), lo cual no tiene mucho sentido, a menos que se produzca una situación muy anómala ( sobre la que no se nos piede que hagamos conjeturas ); por lo demás, los puntos tienden a situarse alrededor de una recta teórica ( existe correlación estadística ), que se llama recta de regresión lineal.
En la gráfica central se expone una situación en la que no existe correlación estadística entre las dos variables, ya que los puntos aparecen distribuidos al azar por todo el plano, lo cual también es una situación un tanto extraña.
La tercera gráfica (por la izquierda) es la que tiene más verosimilitud. Los puntos también están alrededor de la recta teórica ( recta de regresión lineal ) y, además, se ajustan mejor a ella que los de la primera gráfica por la izquierda - decimos que hay un mayor grado de correlación estadística entre las dos variables -. La pendiente de dicha recta es positiva ( decimos que la correlación entre las dos variables es positiva ), tal y como cabría esperar, pues cuánto más coman, en principio, más leche se espera que den.
lunes, 18 de mayo de 2020
Ejercicio 1 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Probabilidad. Trasvase de bolas entre dos urnas ...
Ejercicio 12 de la página 318 del libro base
ENUNCIADO. Tenemos dos urnas, A y B. La urna A contiene 1 bola blanca y 2 bolas negras. La urna B contiene 2 bolas blancas y 5 bolas negras. Se saca una bola de la urna A y se pasa a la urna B. Se extrae a continuación una bola de la urna B. Calcula la probabilidad de que dicha bola sea blanca.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Tenemos dos urnas, A y B. La urna A contiene 1 bola blanca y 2 bolas negras. La urna B contiene 2 bolas blancas y 5 bolas negras. Se saca una bola de la urna A y se pasa a la urna B. Se extrae a continuación una bola de la urna B. Calcula la probabilidad de que dicha bola sea blanca.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
viernes, 15 de mayo de 2020
jueves, 14 de mayo de 2020
Ejercicio 5 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Estadística básica de 1 variable con los valores agrupados en clases ( otro ejercicio rutinario con GeoGebra )
ENUNCIADO. Obtén el valor de los parámetros de posición y centralización del conjunto de datos del ejercicio 37 de la página 295 del libro base. Tienes que hacerlo con la ayuda de GeoGebra ( a partir de lo que te he explicado en el tercer videotutorial ). Tendrás que enviar, por tanto, dos archivos: el archivo de trabajo con GeoGebra .ggb, y el archivo con la fototrafía de la hoja de tu cuaderno personal en la que habrás resumido los resultados.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Ejercicio 4 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Estadística básica. Parámetros estadísticos.
ENUNCIADO. Resuelve el grupo de ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 de la página 287 del libro base ( de la sección "Comprueba lo que sabes" )
SUGERENCIA. Te animo a utilizar una hoja de cálculo para elaborar el diagrama de sectores, y a practicar también con GeoGebra para el resto de los apartados
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
(1) Si la característica en estudio no es cuantitativa ( Ejemplo: las coaliciones políticas en unas elecciones ) hablaremos de variable cualitativa; si son númericos, hablaremos de variable cuantitativa ( Ejemplo: el número de calzado como característica de estudio )
(2)
(3)
(4)
(5) Esta cuestión la resolveremos comparando los coeficientes de variación (CV); para $A$ tenemos $CV_{A}=\dfrac{0,16}{3,2}=5\,\%$, mientras que para B, $CV_{A}=\dfrac{0,45}{2,5}=18\,\%$. Siendo $CV_A$ menor que $CV_B$, hay más homogeneidad (menos dispersión) en el precio de las naranjas en el barrio A que en el barrio B.
SUGERENCIA. Te animo a utilizar una hoja de cálculo para elaborar el diagrama de sectores, y a practicar también con GeoGebra para el resto de los apartados
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
(1) Si la característica en estudio no es cuantitativa ( Ejemplo: las coaliciones políticas en unas elecciones ) hablaremos de variable cualitativa; si son númericos, hablaremos de variable cuantitativa ( Ejemplo: el número de calzado como característica de estudio )
(2)
(3)
(4)
(5) Esta cuestión la resolveremos comparando los coeficientes de variación (CV); para $A$ tenemos $CV_{A}=\dfrac{0,16}{3,2}=5\,\%$, mientras que para B, $CV_{A}=\dfrac{0,45}{2,5}=18\,\%$. Siendo $CV_A$ menor que $CV_B$, hay más homogeneidad (menos dispersión) en el precio de las naranjas en el barrio A que en el barrio B.
miércoles, 13 de mayo de 2020
Ejercicio 3 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Combinatoria. Ecuaciones con variaciones y combinaciones
ENUNCIADO. Realiza los ejercicios rutinarios 62, 63, 64, 65 y 66 de la página 310 del libro base
INDICACIÓN PRELIMINAR. Repasa con atención los contenidos 298-301 sobre combinatoria
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
(62) Sabemos que $\binom{m}{n}=\binom{m}{m-n}$, luego $\binom{5}{2}=\binom{5}{x} \Rightarrow x=5-2=3$
(63) $V_{x,3}=30\,x$ ( con $x$ mayor que $3$, necesariamente)
$x(x-1)(x-2)=30\,x$
$x^2-3x-28=0 \Rightarrow x=7$
(64) $V_{x,4}=6\,V_{x,2}$ ( con $x$ mayor que $3$, necesariamente)
$\dfrac{V_{x,4}}{V_{x,2}}=6$ ( donde $x$ es mayor que $4$, necesariamente)
$\dfrac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{x(x-1)}=6$
$(x-2)(x-3)=6 \Rightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow x=5$
(65) $P_x=20\,P_{x-2}$ ( donde $x$ es mayor que $2$, necesariamente
$x(x-1)P_{x-2}=20\,P_{x-2} \Rightarrow x(x-1)=20 \Rightarrow x^-x-20=0 \Rightarrow x=5$
(66) $2\,C_{x,2}=V_{x,2}$ ( donde $x\ge 2$, necesariamente )
$2\,\dfrac{V_{x,2}}{P_2}=V_{x,2} \Rightarrow 1=1$, luego la igualdad es una identidad ( cualquier número entero positivo mayor o igual que $2$ cumple la igualdad )
INDICACIÓN PRELIMINAR. Repasa con atención los contenidos 298-301 sobre combinatoria
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
(62) Sabemos que $\binom{m}{n}=\binom{m}{m-n}$, luego $\binom{5}{2}=\binom{5}{x} \Rightarrow x=5-2=3$
(63) $V_{x,3}=30\,x$ ( con $x$ mayor que $3$, necesariamente)
$x(x-1)(x-2)=30\,x$
$x^2-3x-28=0 \Rightarrow x=7$
(64) $V_{x,4}=6\,V_{x,2}$ ( con $x$ mayor que $3$, necesariamente)
$\dfrac{V_{x,4}}{V_{x,2}}=6$ ( donde $x$ es mayor que $4$, necesariamente)
$\dfrac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{x(x-1)}=6$
$(x-2)(x-3)=6 \Rightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow x=5$
(65) $P_x=20\,P_{x-2}$ ( donde $x$ es mayor que $2$, necesariamente
$x(x-1)P_{x-2}=20\,P_{x-2} \Rightarrow x(x-1)=20 \Rightarrow x^-x-20=0 \Rightarrow x=5$
(66) $2\,C_{x,2}=V_{x,2}$ ( donde $x\ge 2$, necesariamente )
$2\,\dfrac{V_{x,2}}{P_2}=V_{x,2} \Rightarrow 1=1$, luego la igualdad es una identidad ( cualquier número entero positivo mayor o igual que $2$ cumple la igualdad )
Ejercicio 2 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades. Probabilidad condicionada. Probabilidad total.
Ejercicio 131 de la página 315 del libro base
ENUNCIADO. Un barco mercante cubre diariamente el servicio entre dos puertos. Se sabe que la probabilidad de tener un accidente en un día soleado es $0,005$, y en un día con niebla, $0,07$. Calcula la probabilidad de que haya tenido un accidente un día de un mes en el que hubo 18 días con sol y 12 con niebla.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO. Un barco mercante cubre diariamente el servicio entre dos puertos. Se sabe que la probabilidad de tener un accidente en un día soleado es $0,005$, y en un día con niebla, $0,07$. Calcula la probabilidad de que haya tenido un accidente un día de un mes en el que hubo 18 días con sol y 12 con niebla.
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
lunes, 11 de mayo de 2020
Ejercicio 1 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020
ENUNCIADO.
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
a) Organiza el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
1.ª parte
b) Si todavía no lo has hecho, instala el programa de software libre GeoGebra Clásico 5
c) Empleando GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras ), así como el diagrama de caja y bigotes. Por tanto esta vez tendrás que mandar tambión los archivos de trabajo con GeoGebra que sean necesarios [ .ggb ], además del archivo habitual que contenga la fotografía de la página de tu cuaderno con los cálculos que te pido a continuación.
2.ª parte
d) Sin GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
e) Determina la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Determina la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
g) Calcula la media aritmética ( parámetro de situación )
h) Calcula la desviación media ( parámetro de dispersión )
i) Calcula el rango ( parámetro de dispersión )
INSTRUCCIÓN. Tienes que enviar también el
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
Se han medido ( recogido ) los siguientes valores en el estudio de una determinada característica ( variable estadística ) en los individuos de una población:
$$\{ 3,4,1,3,4,3,2,3,1,3,2,3,4,1,4,2,3,4,3,4,2,5,5,2,3,2,4,3,4,2,5,3\}$$
a) Organiza el recuento de estos valores ( sin agruparlos en intervalos ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros estudiados.
1.ª parte
b) Si todavía no lo has hecho, instala el programa de software libre GeoGebra Clásico 5
c) Empleando GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias del recuento ( diagrama de barras ), así como el diagrama de caja y bigotes. Por tanto esta vez tendrás que mandar tambión los archivos de trabajo con GeoGebra que sean necesarios [ .ggb ], además del archivo habitual que contenga la fotografía de la página de tu cuaderno con los cálculos que te pido a continuación.
2.ª parte
d) Sin GeoGebra, dibuja el diagrama de frecuencias acumuladas ( diagrama "de peldaños" )
e) Determina la moda ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
f) Determina la mediana ( parámetro de situación ), razonando el procedimiento empleado
g) Calcula la media aritmética ( parámetro de situación )
h) Calcula la desviación media ( parámetro de dispersión )
i) Calcula el rango ( parámetro de dispersión )
INSTRUCCIÓN. Tienes que enviar también el
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
lunes, 4 de mayo de 2020
Ejercicio 9 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades. Extracciones sucesivas sin reemplazamiento. Dependencia de sucesos
ENUNCIADO. El del ejercicio 23 de la página 305 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 14 )
Se extraen dos bolas a la vez de una urna que contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas ?
ACLARACIÓN. Extraer las dos bolas a la vez es equivalente a extraerlas una a una sin devolver la primera a la urna antes de extraer la segunda ( extracciones sucesivas sin reposición/reemplazamiento )
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 302-305 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN.
( Cliquea sobre la imagen para verla en tamaño natural )
Se extraen dos bolas a la vez de una urna que contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas ?
ACLARACIÓN. Extraer las dos bolas a la vez es equivalente a extraerlas una a una sin devolver la primera a la urna antes de extraer la segunda ( extracciones sucesivas sin reposición/reemplazamiento )
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 302-305 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN.
( Cliquea sobre la imagen para verla en tamaño natural )
Ejercicio 8 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades. Probabilidad condicionada. Independencia/dependencia de sucesos
ENUNCIADO. El del ejercicio 24 de la página 305 del libro base [con una aclaración importante] ( Probabilidad - Unidad Didáctica 14 )
Una máquina produce 100 tornillos de los que 3 son defectuosos. Si se cogen dos tornillos ( sin devolver al capazo el primer tornillo ), halla la probabilidad de que al coger el segundo sea defectuoso, con la condición de que el primero también haya sido defectuoso. ¿ Cómo son ambos sucesos, dependientes o independientes ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 302-305 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN.
( Cliquea sobre la imagen para verla en tamaño natural )
Una máquina produce 100 tornillos de los que 3 son defectuosos. Si se cogen dos tornillos ( sin devolver al capazo el primer tornillo ), halla la probabilidad de que al coger el segundo sea defectuoso, con la condición de que el primero también haya sido defectuoso. ¿ Cómo son ambos sucesos, dependientes o independientes ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 302-305 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN.
( Cliquea sobre la imagen para verla en tamaño natural )
Ejercicio 7 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Probabilidad. Cálculo de probabilidades. Probabilidad condicionada.
ENUNCIADO. El del ejercicio 22 de la página 305 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 14 )
Se extrae una carta de una baraja española a la que se le han retirado el 9 y el 8 de cada palo, y por tanto tiene 40 cartas. Se observa si ha salido una carta de copas y se vuelve a introducir en el mazo; luego se extrae otra carta. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos cartas sean de copas ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 302-305 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN.
(Cliquea en la imagen para verla en tamaño natural)
Se extrae una carta de una baraja española a la que se le han retirado el 9 y el 8 de cada palo, y por tanto tiene 40 cartas. Se observa si ha salido una carta de copas y se vuelve a introducir en el mazo; luego se extrae otra carta. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos cartas sean de copas ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 302-305 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN.
(Cliquea en la imagen para verla en tamaño natural)
Ejercicio 6 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Combinatoria. Número de diagonales de un decágono
ENUNCIADO. El del ejercicio 13 de la página 301 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 14 )
¿ Cuántas diagonales tiene un decágono ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 300-301 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN. Una diagonal en un polígono es el segmento rectilíneo que une dos vértices no consecutivos ( los vértices consecutivos están unidos unos a otros mediante los lados del polígono ). Un triángulo es un polígono de 3 vértices y es claro que no tiene ningua diagonal. Un cuadrado tiene cuatro vértices y tiene 2 diagonales. Nos preguntamos, en general, ¿ cuántas diagonales tiene un polígono de n vértices ?. Si enlazamos los vértices de dos en dos obtenemos $C_{n,2}$ segmentos, así que, restando el número de lados n, obtendremos el número de diagonales, esto es $C_{n,2}-n$ diagonales. En el caso concreto de un decágono, $n:=10$, luego tendrá $C_{10,2}-10=35$ diagonales.
NOTA. Acordaros de que, para calcular los números combinatorios, podéis usar la calculadora científica ... Así: [10 nCR 2 =], obteniendo 45
¿ Cuántas diagonales tiene un decágono ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 300-301 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN. Una diagonal en un polígono es el segmento rectilíneo que une dos vértices no consecutivos ( los vértices consecutivos están unidos unos a otros mediante los lados del polígono ). Un triángulo es un polígono de 3 vértices y es claro que no tiene ningua diagonal. Un cuadrado tiene cuatro vértices y tiene 2 diagonales. Nos preguntamos, en general, ¿ cuántas diagonales tiene un polígono de n vértices ?. Si enlazamos los vértices de dos en dos obtenemos $C_{n,2}$ segmentos, así que, restando el número de lados n, obtendremos el número de diagonales, esto es $C_{n,2}-n$ diagonales. En el caso concreto de un decágono, $n:=10$, luego tendrá $C_{10,2}-10=35$ diagonales.
NOTA. Acordaros de que, para calcular los números combinatorios, podéis usar la calculadora científica ... Así: [10 nCR 2 =], obteniendo 45
Ejercicio 5 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Combinatoria. Combinaciones ordinarias
ENUNCIADO. El del ejercicio 14 de la página 301 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 14 )
Con 8 jugadores, ¿ cuántos equipos de baloncesto se pueden formar, si cada jugador puede jugar en cualquier puesto ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 300-301 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN. El número de jugadores en pista de un equipo de baloncesto es de 5. Como no importa el orden en que elijamos a los jugadores, tenemos un problema de Combinaciones, luego el número de maneras de formar un equipo ( o si se quiere, el número de equipos que podemos formar ) es igual a $C_{8,5}=\dfrac{V_{8,5}}{P_5}=\dfrac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = 56$ ( con ayuda de la calculadora científica, hay que teclear 8 nCr 5 = ).
Con 8 jugadores, ¿ cuántos equipos de baloncesto se pueden formar, si cada jugador puede jugar en cualquier puesto ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 300-301 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN. El número de jugadores en pista de un equipo de baloncesto es de 5. Como no importa el orden en que elijamos a los jugadores, tenemos un problema de Combinaciones, luego el número de maneras de formar un equipo ( o si se quiere, el número de equipos que podemos formar ) es igual a $C_{8,5}=\dfrac{V_{8,5}}{P_5}=\dfrac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = 56$ ( con ayuda de la calculadora científica, hay que teclear 8 nCr 5 = ).
Ejercicio 4 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Combinatoria. Combinaciones ordinarias
ENUNCIADO. El del ejercicio 10 de la página 301 del libro base ( con el enunciado aclarado y simplificado )
Con las letras A, B, C, D y E forma todas las combinaciones que puedas de dos letras de manera que ningún par de palabras tenga las mismas letras
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 300-301 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN. Tratándose de Combinaciones no importa el orden en el que dispongamos las letras en una palabra. El número de palabras que podemos formar viene dado por $$C_{5,2}=\dfrac{V_{5,2}}{P_2}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=10$$ Veamos ahora cuáles son:
Con las letras A, B, C, D y E forma todas las combinaciones que puedas de dos letras de manera que ningún par de palabras tenga las mismas letras
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 300-301 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN. Tratándose de Combinaciones no importa el orden en el que dispongamos las letras en una palabra. El número de palabras que podemos formar viene dado por $$C_{5,2}=\dfrac{V_{5,2}}{P_2}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=10$$ Veamos ahora cuáles son:
AB AC BC AD BD CD AE BE CE DE
Ejercicio 3 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Principios del recuento. Combinatoria
ENUNCIADO. El del ejercicio 4 de la página 299 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 14 )
Con los dígitos 8 y 9, forma todos los números de tres cifras que puedas. ¿ Cuántos son ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 298-299 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN.
Como es preceptivo que podamos repetir los dígitos al formar los números de tres cifras, tenemos dos posibilidades para elegir la primera ( pongamos que la de las centenas ), otras dos para la segunda ( la cifra de las decenas ) y otras dos para la cifra de las unidades. Así que, por el principio multiplicativo, podremos escribir $2\cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$ números distintos de tres cifras: $\{888, 889, 898, 899, 999, 988, 989, 998 \}$
Con los dígitos 8 y 9, forma todos los números de tres cifras que puedas. ¿ Cuántos son ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 298-299 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN.
Como es preceptivo que podamos repetir los dígitos al formar los números de tres cifras, tenemos dos posibilidades para elegir la primera ( pongamos que la de las centenas ), otras dos para la segunda ( la cifra de las decenas ) y otras dos para la cifra de las unidades. Así que, por el principio multiplicativo, podremos escribir $2\cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$ números distintos de tres cifras: $\{888, 889, 898, 899, 999, 988, 989, 998 \}$
Ejercicio 2 de la semana del 4 de mayo al 10 de mayo de 2020 - Combinatoria. Ejercicio de cálculo de variaciones: variaciones ordinarias, variaciones con repetición, permutaciones, permutaciones circulares ...
ENUNCIADO. El del ejercicio 8 de la página 299 del libro base ( ligeramente modificado )
Calcula:
a) $V_{8,5}$ ( variaciones ordinarias de 8 objetos tomados en grupos de cinco )
b) $VR_{7,3}$ ( variaciones con repetición de 7 objetos tomados en grupos de tres )
c) $P_6$ ( permutaciones de 6 objetos, esto es, variaciones ordinarias de 6 objetos tomados en grupos de seis )
d) $PC_8$ ( permutaciones circulares de 8 objetos )
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 298-299 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN.
a) $V_{8,5}=8\cdot 7\cdot 6 \cdot 5 = 1\,680$
b) $VR_{7,3}=7^3= 343$
c) $P_6=6!=6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$
d) $PC_8=(8-1)!=7!=7 \cdot 6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5\,040$
Calcula:
a) $V_{8,5}$ ( variaciones ordinarias de 8 objetos tomados en grupos de cinco )
b) $VR_{7,3}$ ( variaciones con repetición de 7 objetos tomados en grupos de tres )
c) $P_6$ ( permutaciones de 6 objetos, esto es, variaciones ordinarias de 6 objetos tomados en grupos de seis )
d) $PC_8$ ( permutaciones circulares de 8 objetos )
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 298-299 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN.
a) $V_{8,5}=8\cdot 7\cdot 6 \cdot 5 = 1\,680$
b) $VR_{7,3}=7^3= 343$
c) $P_6=6!=6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$
d) $PC_8=(8-1)!=7!=7 \cdot 6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5\,040$
Ejercicio 1 de la semana del 4 al 10 de mayo de 2020 - Principios del recuento. Combinatoria
ENUNCIADO. El del ejercicio 7 de la página 299 del libro base ( Probabilidad - Unidad Didáctica 14 )
El sistema actual de matrículas dice: "En las placas de matrícula se inscribirán dos grupos de caracteres constituidos por un número de cuatro cifras, que irá desde el 0000 al 9999, y de tres letras, empezando por las letras BBB y terminando por las letras ZZZ, suprimiéndose las cinco vocales y las letras Ñ y Q". ¿ Cuántas matrículas hay con las letras BBB ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 298-299 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN. Faltarán los números xxxx en las matrículas del tipo 'xxxx BBB'. De acuerdo con el enunciado, las tres letras B están fijadas, y cada uno de los caracteres numéricos ( dígitos ) puede repetirse al formar las secuencias 'xxxx', por tanto habrá $10^4=10\,000$ maneras de construir tal secuencia ya que cada dígito ( y hay 4 ) es posible elegirlo entre los del conjunto $\{0,1,2,3,\ldots,9\}$, luego hay $10\,000$ matrículas con letras BBB
El sistema actual de matrículas dice: "En las placas de matrícula se inscribirán dos grupos de caracteres constituidos por un número de cuatro cifras, que irá desde el 0000 al 9999, y de tres letras, empezando por las letras BBB y terminando por las letras ZZZ, suprimiéndose las cinco vocales y las letras Ñ y Q". ¿ Cuántas matrículas hay con las letras BBB ?
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 298-299 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN. Faltarán los números xxxx en las matrículas del tipo 'xxxx BBB'. De acuerdo con el enunciado, las tres letras B están fijadas, y cada uno de los caracteres numéricos ( dígitos ) puede repetirse al formar las secuencias 'xxxx', por tanto habrá $10^4=10\,000$ maneras de construir tal secuencia ya que cada dígito ( y hay 4 ) es posible elegirlo entre los del conjunto $\{0,1,2,3,\ldots,9\}$, luego hay $10\,000$ matrículas con letras BBB
Suscribirse a:
Entradas (Atom)