Ejercicio 9 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Resolución de triángulos rectángulos. Ecuaciones trigonométricas

ENUNCIADO. Ejercicio 104 de la página 172 del libro base ( Unidad Didáctica 7) - ligeramente modificado -
Resuelve la ecuación trigonométrica en el intervalo $[0,4\,\pi]$ ( radianes ) $$\tan\,x+3\,\text{cotan}\,x=4$$

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SOLUCIÓN.
$\tan\,x+3\,\text{cotan}\,x=4$
  $\tan\,x+\dfrac{3}{\tan\,x}=4$
    $\tan^2\,x+3=4\,\tan\,x$
      $\tan^2\,x-4\,\tan\,x+3=0$
Renombrando: $y\dot{=}\tan\,x$
        $y^2-4\,y+3=0 \Rightarrow y=\left\{\begin{matrix}3 \\ 1\end{matrix}\right.$

Para $y=\tan\,x=1 \Rightarrow x_1=\pi/4\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_2=\pi/4+\pi=\dfrac{5}{4}\,\pi\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante); $x_3=\pi/4+2\,\pi=\dfrac{9}{4}\pi\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_4=\dfrac{5}{4}\,\pi/4+2\,\pi=\dfrac{13}{4}\pi\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante )

Para $y=\tan\,x=3 \Rightarrow x_1=\text{arctan}(3)=1,2490\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_2=1,2490+\pi=4,3960\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante); $x_3=1,2490+2\,\pi=7,5322\,\text{rad}$ (solución del primer cuadrante); $x_4=4,3906+2\,\pi=10,6738\,\text{rad}$ (solución del tercer cuadrante)
$\square$

Resolviendo ecuaciones trigonométricas

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica, para $x$ tales que $0^\circ \le x \le 360^\circ$ $$\cos^2\,x-\sin^2\,x=1$$
SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta la identidad fundamental $\sin^2\,x+\cos^2\,x=1$, podemos escribir el $\sin^\,x$ en función del $\cos^2\,x$, de la forma $\sin^2\,x=1-\cos^2\,x$.; y sustituyendo en la ecuación pedida, obtenemos la ecuación equivalente $$\cos^2\,x-(1-\cos^2\,x)=1$$ y simplificando, $$cos^2\,x=1$$ con lo cual $$\cos\,x=\sqrt{1}=\pm1$$ Por lo tanto, si $\cos\,x=+1$, entonces $x=0^\circ$ ( o, lo que es equivalente, $x=360^\circ$ ), y si $\cos\,x=-1$ se deduce de ello que $x=180^\circ$. $\square$

Resolviendo ecuaciones trigonométricas

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas, para $$0^\circ \le x \le 360^\circ$$
a) $\cos\,x=\tan\,x$
b) $\sin^2\,x-\cos^2\,x=\dfrac{1}{4}$

SOLUCIÓN.

Resolviendo ecuaciones trigonométricas

ENUNCIADO. Resolver la ecuación trigonométrica $$\sin\,x = \tan\,x$$ para $$0^\circ \le x \le 360^\circ$$

SOLUCIÓN.

Resolviendo ecuaciones trigonométricas

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica $$6\,\sin^2\,x+\sin\,x-1=0$$ para $0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$

SOLUCIÓN.