ENUNCIADO. Un 80% de los estudiantes de un centro escolar de 1100 estudiantes practican alguna actividad deportiva. De los que hacen deporte, un 45% son chicas, y de los que no, un 35% son chicos. Elegido un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que sea:
a) un chico
b) una chica
c) un estudiante que haga deporte
d) un estudiante que no haga de porte
e) una chica, y que no haga deporte
f) alguien que no haga deporte, sabiendo que se trata de una chica
g) una chica, sabiendo que no hace deporte
AYUDA. Utiliza una tabla de contingencia como las has visto en cursos anteriores.
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INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
Para introducir el concepto de sucesos condicionados y estos dos importantes teoremas ( t. de la Probabilidad Total y t. de Bayes ) nos centraremos en un problema sencillo, tal como éste:
Consideremos una bolsa que contiene $7$ bolas, todas del mismo tamaño, textura y peso; sin embargo $3$ de ellas son blancas y $4$ son negras; y, por otra parte, sabemos que algunas de las bolas están hechas de plástico: concretamente, $2$ de las bolas blancas y $1$ de las bolas negras. Extraemos una bola al azar. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que esté hecha de plástico ?
b) Supongamos ahora que alguien nos ha informado de que la bola extraída ha resultado ser de plástico, ¿ cuál es la probabilidad de que sea blanca/negra ?
SOLUCIÓN.
a) Hay una forma muy sencilla de responder a esta primera pregunta: como hay un total de $3$ bolas de plástico y $7$ bolas en total, por aplicación directa de la regla de Laplace, concluimos sin ninguna dificultad que la probabilidad de que la bola extraída sea de plástico es $\dfrac{3}{7}$.
Sin embargo, la respuesta a la pregunta del segundo apartado ya no es tan evidente. Para poder contestar a esta segunda pregunta, necesitamos rastrear un poco en el meollo del asunto; lo cual nos brindará un buen escenario para reflexionar sobre el importante concepto de probabilidad condicionada.
Enunciaremos y justificaremos también dos importantes resultados, muy útiles para resolver otros problemas más complicados: el Teorema de la Probabilidad Total ( que nos servirá para encontrar el resultado del primer apartado, desde otra persepectiva ) y el Teorema de Bayes.
Para mayor detalle, véanse invito al lector a que después de leer lo que sigue, lea también las observaciones y las notas que he añadido al final del artículo, que reinciden en todo lo que vamos a decir al hilo de las preguntas del problema.
Vamos a ello. Denotemos por $B$ al sucesor "extraer bola blanca"; por $N$, a "extraer bola negra"; y, por $\mathcal{P}$, al suceso "extraer una bola hecha de plástico"
Teniendo en cuenta que $$\mathcal{P}=(\mathcal{P}\cap B) \cup (\mathcal{P}\cap N)$$
podemos escribir $$P(\mathcal{P})=P\left((\mathcal{P}\cap B) \cup (\mathcal{P}\cap N)\right)$$ Y como los sucesos $\mathcal{P}\cap B$ y $\mathcal{P}\cap N$ son incompatibles ( disjuntos ), por el tercer axioma sabemos que $$P(\mathcal{P})=P(\mathcal{P}\cap B) + P(\mathcal{P}\cap N)$$ Ahora bien, la probabilidad de obtener una bola que sea de plástico y blanca es igual al producto de la probabilidad de que, sabiendo que sea blanca, dicha bola sea de plástico -- que denotaremos por $P(\mathcal{P}|B)$ ( probabilidad condicionada ) -- y la probabilidad de que sea blanca, esto es: $$P(\mathcal{P}\cap B)=P(\mathcal{P}|B)\,P(B)$$ y la probabilidad de obtener una bola que sea de plástico y negra es igual al producto de la probabilidad de que, sabiendo que sea negra, dicha bola sea de plástico -- que denotaremos por $P(\mathcal{P}|N)$ ( probabilidad condicionada ) -- y la probabilidad de que sea negra, esto es: $$P(\mathcal{P}\cap N)=P(\mathcal{P}|B)\,P(N)$$ Por todo ello puede escribirse lo siguiente $$P(\mathcal{P})=P(\mathcal{P}|B)\,P(B)+P(\mathcal{P}|N)\,P(N)$$
Y teniendo en cuenta que, según el enunciado, y por la regla de Laplace: $P(B)=\dfrac{3}{7}$, $P(N)=\dfrac{4}{7}$, $P(\mathcal{P}|B)=\dfrac{2}{3}$ y $P(\mathcal{P}|N)=\dfrac{1}{4}$, encontramos que, como cabría esperar, $$P(\mathcal{P})=\dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{1}{7}=\dfrac{3}{7}$$
El siguiente diagrama de árbol resume lo que se ha hecho:
b) Se nos pide ahora que calculemos la siguiente probabilidad $P(B|\mathcal{P})$, siendo ahora $\mathcal{P}$, el suceso condicionador. Partiremos de la siguiente igualdad, que resulta evidente al ser la intersección una operación conmutativa: $$P(\mathcal{P} \cap B) = P(B \cap \mathcal{P})$$ Por lo que se ha dicho anteriormente, el primer miembro es igual a $P(\mathcal{P}|B)\,P(B)$ y el segundo miembro es igual a $P(B|\mathcal{P})\,P(\mathcal{P}$, así que ambas cantidades han de ser iguales: $$P(\mathcal{P}|B)\,P(B)=P(B|\mathcal{P})\,P(\mathcal{P}$$ y, despejando $P(B|\mathcal{P})$, encontramos $$P(B|\mathcal{P})=\dfrac{P(\mathcal{P}|B)\,P(B)}{P(\mathcal{P}}$$ que es lo que afirma el teorema de Bayes. Y con los datos del problema, $$P(B|\mathcal{P})=\dfrac{(3/7)\cdot (2/3)}{3/7}=\dfrac{2}{3}$$ De manera análoga $$P(N|\mathcal{P})=\dfrac{P(\mathcal{P}|N)\,P(N)}{P(\mathcal{P}}$$ que, con los datos del problema, $$P(N|\mathcal{P})=\dfrac{(4/7)\cdot (1/4)}{3/7}=\dfrac{1}{3}$$
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Observación ( Una reflexión acerca de la noción de independencia de sucesos y de la definición de probabilidad condicionada ): Notemos que si todas las bolas fuesen de plástico, la pareja de sucesos $\mathcal{P}$ y $B$ serían independientes, y por tanto, $P(\mathcal{P}|B)=P(\mathcal{P})$. Y lo mismo sucedería con la pareja de sucesos $\mathcal{P}$ y $N$, también serían independientes, y por tanto $P(\mathcal{P}|N)=P(\mathcal{P})$.
Si $\mathcal{P}$ y $B$ no son independientes, tendremos que $P(\mathcal{P}\cap B)\neq P(\mathcal{P})$; y, lo mismo, con respecto a $\mathcal{P}$ y $B$, si no son independientes: $P(\mathcal{P}\cap N)\neq P(\mathcal{P})$
Deduciremos una expresión de $P(\mathcal{P}\cap B)$ y de $P(\mathcal{P}\cap N)$ a partir de lo que se ha dicho en el desarrollo del primer apartado, que viene a ser una definición natural de probabilidad condicionada ( por la información que tenemos de haber sacado bola blanca ): $$P(\mathcal{P}|B)=\dfrac{P(\mathcal{P}\cap B)}{P(B)}$$ y, respectivamente, $$P(\mathcal{P}|N)=\dfrac{P(\mathcal{P}\cap N)}{P(N)}$$, contando con la información de haber extraído una bola negra.
Nota ( Otra manera de justificar la definición de probabilidad condicionada )
Consideremos los sucesos $\mathcal{P}$ y $B$. En buena lógica podemos postular que $P(\mathcal{P}|B)$ ha de ser proporcional a $P(\mathcal{P} \cap B)$, sea cual sea el suceso $B$, que estará incluido en el espacio muestral $\Omega$ asociado a la experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ "extraer una bola de la bolsa". Entonces, existirá una constante ( de proporcionalidad) $k$, de tal manera que $$P(\mathcal{P}|B)=k\,P(\mathcal{P} \cap B)$$ Para determinar dicha constante $k$, supongamos ahora, que sin pérdida de generalidad, $\mathcal{P}:=\Omega$; con lo cual deberá cumplirse que $$P(\Omega|B)=k\,P(\Omega \cap B)$$ Ahora bien, como $B$ está incluído en $\Omega$, $P(\Omega|B)=P(\Omega)=1$ ( que es el suceso seguro ); y, por otra parte, y por la misma razón, $\Omega \cap B = B$, luego $P(\Omega \cap B)=P(B)$. En consecuencia, $$1=k\,P(B) \Rightarrow k = \dfrac{1}{P(B)}$$ por lo cual justificamos así la definición de probabilidad condicionada que hemos dado $$P(\mathcal{P}|B)=\dfrac{P(\mathcal{P} \cap B)}{P(B)}$$ Y, por supuesto, también podemos decir ( aplicándolo al caso que nos ocupa ) que $$P(\mathcal{P}|N)=\dfrac{P(\mathcal{P} \cap B)}{P(N)}$$
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A continuación, y para terminar, una manera más de resolver el problema, empleando una tabla de contingencia:
