Ejercicio 3 de la semana del 11 al 17 de mayo de 2020 - Combinatoria. Ecuaciones con variaciones y combinaciones

ENUNCIADO. Realiza los ejercicios rutinarios 62, 63, 64, 65 y 66 de la página 310 del libro base

INDICACIÓN PRELIMINAR. Repasa con atención los contenidos 298-301 sobre combinatoria

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

(62) Sabemos que $\binom{m}{n}=\binom{m}{m-n}$, luego $\binom{5}{2}=\binom{5}{x} \Rightarrow x=5-2=3$

(63) $V_{x,3}=30\,x$ ( con $x$ mayor que $3$, necesariamente)
    $x(x-1)(x-2)=30\,x$
      $x^2-3x-28=0 \Rightarrow x=7$

(64) $V_{x,4}=6\,V_{x,2}$ ( con $x$ mayor que $3$, necesariamente)
    $\dfrac{V_{x,4}}{V_{x,2}}=6$ ( donde $x$ es mayor que $4$, necesariamente)
      $\dfrac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{x(x-1)}=6$
        $(x-2)(x-3)=6 \Rightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow x=5$

(65) $P_x=20\,P_{x-2}$ ( donde $x$ es mayor que $2$, necesariamente
    $x(x-1)P_{x-2}=20\,P_{x-2} \Rightarrow x(x-1)=20 \Rightarrow x^-x-20=0 \Rightarrow x=5$

(66) $2\,C_{x,2}=V_{x,2}$ ( donde $x\ge 2$, necesariamente )
    $2\,\dfrac{V_{x,2}}{P_2}=V_{x,2} \Rightarrow 1=1$, luego la igualdad es una identidad ( cualquier número entero positivo mayor o igual que $2$ cumple la igualdad )