ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Para obtener los valores de la primera incógnita podemos hacer lo siguiente:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1+e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ 2\,x^2&&&=&12\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&&&=&6\end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación, se obtiene fácilmente $$x=\pm \sqrt{6}$$
Para obtener los valores de la otra incógnita, procedemos de manera parecida:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&2\,y^2&=&8\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&y^2&=&4\end{matrix}\right.$$ y de la segunda ecuación se llega a $$y=\sqrt{4}=\pm\,2$$
La solución viene dada por cuatro pares de valores "(x,y)", que representan puntos en el plano ya que cada una de las ecuaciones del sistema corresponde a una curva en el plano, que como se verá más adelante, en el caso que nos ocupa, se refieren a una circunferencia y una hipérbola, respectivamente (1); por consiguiente la solución del sistema se interpreta como el conjunto de puntos de intersección de esas curvas, y son los siguientes: $$(\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(\sqrt{6}\,,\,-2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,-2)$$
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Nota 1
Estas gráficas, que corresponden a curvas cónicas, se estudian en 1.º de Bachillerato, pero os recomiendo que utilicéis el programa GeoGebra para visualizar las curvas mencionadas, para lo cual basta con editar la ecuación de las mismas en la línea de entrada; así podréis visualizar también los puntos que hemos obtenido como puntos de intersección de las dos curvas y que forman la solución del sistema de ecuaciones.
$\square$
