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domingo, 18 de octubre de 2020
sábado, 23 de mayo de 2020
Ejercicio 3 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Fracciones algebraicas
ENUNCIADO. Ejercicio 104 de la página 65 del libro base ( Unidad Didáctica 3 )
Simplifica: $$\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{x^2-y^2}$$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{x^2-y^2}=$
$=\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}-\dfrac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)}-\dfrac{2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x(x+y)-x(x-y)-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x^2+xy-x^2+xy-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{2\,xy-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=2\dfrac{(x-y)y}{(x-y)(x+y)}$
$=2\dfrac{y}{x+y}$
Simplifica: $$\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{x^2-y^2}$$
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
$\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{x^2-y^2}=$
$=\dfrac{x}{x-y}-\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}-\dfrac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)}-\dfrac{2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x(x+y)-x(x-y)-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{x^2+xy-x^2+xy-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=\dfrac{2\,xy-2\,y^2}{(x-y)(x+y)}$
$=2\dfrac{(x-y)y}{(x-y)(x+y)}$
$=2\dfrac{y}{x+y}$
martes, 16 de octubre de 2018
domingo, 14 de octubre de 2018
jueves, 17 de noviembre de 2016
Suma de fracciones algebraicas
ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación con fracciones algebraicas $$\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x-1}$$
SOLUCIÓN. Para efectuar esta suma de estas fracciones, $\dfrac{x}{x^2-1}$ y $\dfrac{1}{x-1}$, debemos reducirlas a común denominador, y, para ello, calcularemos el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores -- hacemos algo análogo cuando sumamos fracciones numéricas --; así que, primero, es necesario descomponer dichos polinomios en factores ( polinómicos ) primos.
Para descomponerlos, hay que calcular sus raíces. Las raíces de $x^2-1$ son $-1$ y $1$, ya que $x^2-1=0 \Leftrightarrow x \in \{-1,+1\}$, luego por el teorema del factor, podemos escribir $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Por otra parte, el polinomio del denominador de la segunda fracción, $x-1$, es primo ( no admite descomposición ). Hecho ésto, por la regla de los factores, sabemos que el polinomio mínimo común múltiplo es el producto de los factores de base común y no común ( a cada una de las descomposiciones ), tomando de cada uno de ellos el exponente máximo ( igual que hacemos con los números enteros ). Por todo ello, $$\text{m.c.m.}(x^2-1,x-1)=\text{m.c.m.}\left((x-1)(x+1),x-1\right)=(x-1)(x+1)=x^2-1$$
Reduciendo pues las fracciones a común denominador tenemos que la primera fracción, $\dfrac{x}{x^2-1}$ no requiere ninguna transformación, pues su denominador es el propio mínimo común múltiplo. Y la segunda fracción $\dfrac{1}{x-1}$, es equivalente a $\dfrac{(x+1)}{(x-1)(x+1)}$, esto es, es equivalente a $\dfrac{(x+1)}{x^2-1}$.
Ahora ya podemos proceder a realizar la suma,
$\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x-1}=$
$=\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{x+1}{x^2-1}$
$=\dfrac{x+(x+1)}{x^-1}$
$=\dfrac{2x+1}{x^-1}$
y hemos terminado.
$\square$
SOLUCIÓN. Para efectuar esta suma de estas fracciones, $\dfrac{x}{x^2-1}$ y $\dfrac{1}{x-1}$, debemos reducirlas a común denominador, y, para ello, calcularemos el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores -- hacemos algo análogo cuando sumamos fracciones numéricas --; así que, primero, es necesario descomponer dichos polinomios en factores ( polinómicos ) primos.
Para descomponerlos, hay que calcular sus raíces. Las raíces de $x^2-1$ son $-1$ y $1$, ya que $x^2-1=0 \Leftrightarrow x \in \{-1,+1\}$, luego por el teorema del factor, podemos escribir $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Por otra parte, el polinomio del denominador de la segunda fracción, $x-1$, es primo ( no admite descomposición ). Hecho ésto, por la regla de los factores, sabemos que el polinomio mínimo común múltiplo es el producto de los factores de base común y no común ( a cada una de las descomposiciones ), tomando de cada uno de ellos el exponente máximo ( igual que hacemos con los números enteros ). Por todo ello, $$\text{m.c.m.}(x^2-1,x-1)=\text{m.c.m.}\left((x-1)(x+1),x-1\right)=(x-1)(x+1)=x^2-1$$
Reduciendo pues las fracciones a común denominador tenemos que la primera fracción, $\dfrac{x}{x^2-1}$ no requiere ninguna transformación, pues su denominador es el propio mínimo común múltiplo. Y la segunda fracción $\dfrac{1}{x-1}$, es equivalente a $\dfrac{(x+1)}{(x-1)(x+1)}$, esto es, es equivalente a $\dfrac{(x+1)}{x^2-1}$.
Ahora ya podemos proceder a realizar la suma,
$\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x-1}=$
$=\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{x+1}{x^2-1}$
$=\dfrac{x+(x+1)}{x^-1}$
$=\dfrac{2x+1}{x^-1}$
y hemos terminado.
$\square$
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