Una empresa que fabrica candados ... ( Artículo escrito en catalán )

Una empresa construeix candaus protegits amb un nombre format per tres parells de nombres formats pel zero o bé per enters positius. Quants panys amb diferent combinació poden fer ? Si no sabem la clau i cada intent per obrir el candau ens ocupa 30 segons, quin és el temps màxim que podem arribar a necessitar per obrir-lo ? El codi secret de cada candau vindrà donat per [ab|cd|ef]; on a,b,c,d,e i f poden prendre valors en el conjunt {0,1,2,...,9}. Per tant, cada parella [xy] es pot escollir entre el conjunt {00,01,02,...,99}. Com que és un problema on és fonamental l'odre amb què es posen els parells de xifres l'identifiquem com un problema de variacions. Si, contemplem la possibilitat que es pugui repetir una mateixa parella de xifres - com ara, la possibilidat [818181] - tindrem VR100,3 = 1003 = 106 candaus protegits amb claus diferents. Si, per contra, no deixem que es repeteixin els parells, podrem preparar V100,3 = 100(99)(98) = 970200 candaus amb claus diferents. Pel que fa al temps necessari per obrir el candau sense saber-ne la clau, només cal que multipliquem per 3 el nombre de possibilitats. Per exemple, en el primer cas ens portaria 30 000 000 de segons, 8333 h i 20 min, és a dir, entre 347 i 348 dies.

[nota del autor]

Para conseguir un aumento de temperatura de ...

ENUNCIADO
Para conseguir un aumento de temperatura de $20$ grados centígrados en $2$ litros de un cierto líquido se han necesitado $1000$ calorías al calentarlo. Si queremos producir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados en $3$ litros del mismo líquido, ¿ cuántas calorías son necesarias ? \textsf{( Ayuda: Debe tratarse esta cuestión como un problema de proporcionalidad compuesta ). }

SOLUCIÓN
Denotamos por $x$ al número de calorías pedido. En este problema aparecen tres magnitudes relacionadas: la energía ( en forma de calor ) con la que se eleva la temperatura del líquido; el aumento de temperatura, y la cantidad de líquido. La primera es directamente proporcional a la segunda; y también es directamente proporcional a la tercera.

Razonamos, ahora, en dos pasos:

I) Si se necesitan $1000$ calorías para conseguir un aumento de $20$ grados centígrados en $2$ litros de líquido, entonces cabe plantear la siguiente proporción directa ( entre el número de calorías y la cantidad de líquido ) para calcular la cantidad de calorías, $x'$, que ello supone $$\dfrac{x'}{3}=\dfrac{1000}{2}$$ de donde $$x'=1000\cdot \dfrac{3}{2}$$

II) Por otra parte, para conseguir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados, en lugar de un aumento de $20$ grados centígrados, podemos plantear la siguiente proporción ( también directa, entre el número de calorías pedido, $x$, y el aumento de temperatura ) $$\dfrac{x}{x'}=\dfrac{50}{20}$$ De aquí $$x=x'\cdot \dfrac{50}{20}$$ es decir $$x=1000\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías} $$

-oOo-
Otra forma ( abreviada):
La razón aritmética $\dfrac{x}{1000}$ ha de ser igual a la constante de proporcionalidad compuesta $k=k_1 \cdot k_2$, donde $k_1=\dfrac{3}{2}$ y $k_2=\dfrac{50}{20}$; por tanto, $$\dfrac{x}{1000}=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20}$$ y, despejando $x$, obtenemos $$x=1000 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías}$$
$\square$

[nota del autor]

Una urna contiene diez bolas numeradas ...

ENUNCIADO
Una urna contiene diez bolas, numeradas del uno al diez. Consideremos el experimento aleatorio de elegir una bola al azar. Sean los sucesos: extraer una bola con número par, y extraer una bola con número mayor que cuatro. ¿ Son dichos sucesos compatibles ? ¿ Cuál es la probabilidad de su unión ?.

SOLUCIÓN
Denominamos $A$ al primer suceso y $B$ al segundo. Desde luego, hay números pares que son mayores que cuatro; por tanto, los sucesos $A$ y $B$ son compatibles. Procedemos, ahora, a calcular la probabilidad de $A \cup B$, que, por el principio de inclusión-exlusión, es igual a $P(A)+P(B)-P(A \cap B)$     (1). Como $A$ y $B$ son compatibles, $A \cap B \neq \varnothing $, por tanto $P(A \cap B) \neq 0$; en efecto, $P(A \cap B )=\text{card}(\{6,8,10\})=3$, con lo cual, por la regla de Laplace, $P(A \cap B)=\dfrac{3}{10}$; por otra parte, $\text{card}(\{2,4,6,8,10\})=5$, luego, por Laplace, $P(A)=\dfrac{5}{10}$; y como $\text{card}(\{5,6,7,8,9,10\})=6$, $P(B)=\dfrac{6}{10}$. Así, pues, de (1), podemos obtener la probabilidad pedida $$P(A \cup B)=\dfrac{5}{10}+\dfrac{6}{10}-\dfrac{3}{10}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}=80\,\%$$
$\square$

[nota del autor]

En una encuesta ... ( Artículo escrito en catalán )

ENUNCIAT:
En una enquesta, el 10% dels enquestats manifesten parlar quatre llengües; el 15% dels enquestats manifesta parlar-ne tres; el 80% declaren parlar-ne dues; i nou-centes persones han contestat que només en parlen una. A quantes persones hem preguntat ?

SOLUCIÓ:
Si el 10% de les persones consultades parlen 4 llengües i el 15% del total en parlen tres, deduïm que el 5% (que ve de fer 15%-10%) parla exactament tres llengües, ja que les persones que parlen quatre llengües, evidentment, també en parlen tres.

Les persones que parlen quatre llengües (10%) és clar que també en parlen dues. Per descomptat, succeeix el mateix amb les que en parlen tres (5%). Llavors, de les persones que en ser preguntades han contestat que parlen dues llengües, deduïm que en parlen exactament tres el 80%-(5%+10%) = 65%

Llavors, les 900 persones que han dit que només parlen una llengua representen el següent tant per cent sobre el total:
100%-(10%+5%+65%) = 20% .

I, d'aquí, podem deduir el nombre total de persones a les quals s'ha passat l'enquesta: plantejant la proporció

100/20 = x/900

Fent aquest càlcul obtenim: x = 4500 persones consultades.
$\square$

[nota del autor]

Càlcul del nombre de peces que compón el joc del dòmino

Tothom hi ha jugat. Abans de pensar a classificar el problema dins d'un tipus combinatori, posem les peces tal com mostra la figura de sota. La suma del nombre de peces fila a fila ens dóna la solució, 28.



És clar que només cal que sumem el nombre de peces que hi ha a cadas fila (suma dels termes de la successió aritmètica {1,2,3,4,5,6,7}:
                1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 7(7+1)/2 = 28 peces. Això no presenta cap dificultat. Si imaginem un dòmino on el nombre més gran que aparegués en alguna de les dues meitats fos 100 hi hauria d'haver
                1+2+3+...+99+100
                100(100+1)/2 = 5050
Adoneu-vos que fem servir el fet que estem sumant una successió aritmètida de diferència igual a 1.

Una observació:
Tots els nombres suma que venen d'una disposició triangular com aquesta s'anomenen precisament nombres triangulars, és a dir, tot nombre triangular t es pot expressar de la forma n(n+1)/2

Mans a l'obra amb les combinacions ! ....
Ara sí, com plategem el problema per la via de la combinatòria ? Identifiquem primer el tipus de problema. Importa l'ordre dels objectes a ordenar ? Aquesta és una pregunta clau ! Què són els objectes i què són els llocs on han d'anar posats ?

Els objectes són cadascuna de les dues meitats de les fitxes, les quals s'han d'escollir per assignar als 7 nombres {0,1,2,3,...,6}, que fan el paper de 'llocs'. És clar que no importa l'ordre, ja que la peça [x|y] és equivalent a la peça [y|x], per tant el problema és de combinacions, no pas de variacions. Ara bé, no és un problema de combinacions ordinàries perquè es poden donar repeticions; així, per exemple, la meitat esquerra la podem escollir repetidamente per a tots i cadascún del nombres. És, doncs, un problema de combinacions amb repetició, de $s$ objectes agafats de $t$ en $t$, que podem expressar de la forma $$CR_{s,t}=\displaystyle \binom{s+t-1}{s}=\binom{s+t-1}{t-1}$$. En aquest cas ( del dòmino ), el nombre d'ordenacions possibles - que ja sabem que ha de ser igual a 28, perquè ho he esbrinat sense emprar càlcul combinatori - es pot calcular, segons el mètode combinatori, fent $$CR_{s=2,t=7}=\displaystyle \binom{7+2-1}{2}= 28$$

Com a cursitat, una cosa més: imaginem un joc de dòmino amb xifres del 0 al 100. ¿ Quàntes peces té ?. Emprant el càlcul combinatori ( amb les noves dades: $s=2$, i $t=101$ ), trobem que aquest nombre es igual $$CR_{s=2,t=101}=\displaystyle \binom{2+101-1}{2}= 5151$$

$\square$

Un grupo de personas se sientan en la terraza de un bar ...( Artículo escrito en catalán )

Nou persones estan assegudes en una taula d'una terrassa un capvespre d'estiu. En Jaume, el cambrer se'ls acosta i els demana què prendran. Com que hi ha molta feina, en arribar a la barra només recorda que li han demanat tres tipus de begudes: sucs de taronja, cerveses i cafès amb gel. Naturalment, hi torna i, ara, pren nota en un paper. Jaume és estudiant de Batxillerat i li agraden molt les matemàtiques, treballa a la terrassa del bar per fer uns calerons durant les vancances d'estiu, però en arribar a casa sempre té un moment per pensar, llegir ... Pensant amb el lapsus de memòria que ha tingut es pregunta de quantes maneres nou persones poden haver fet la comanda dels tres tipus de begudes. Vet aquí la solució ...Decideix codificar la situació fent servir dos símbols: "+" i "|". El primer, per a cadascuna de les nou begudes i, el segon, per separar cadascun dels tres grups de begudes (llimonades, cafès, i cerveses). Fan falta, per tant, nou creus i dues barres separadores. Una determinada comanda - pensa en Jaume - es podria així tenir el següent aspecte:                 +++|++++|++ (a) On el primer grup de creus representaria les llimonades; el segon, les cerveses; i el tercer, els cafès. Les creus d'un mateix grup són indistingibles. Ara bé, és important l'ordre com s'alternen les barres separadores i les creus perquè això és clau per distingir entre les diverses comandes possibles. És evident que aquesta (b)                 ++++|+++|++ és diferent de la primera. En (a) s'han demant 3 llimonades, 4 cerveses i dos cafès, mentre que en (b) s'han demanat 4 llimonades, tres cerves i dos cafès. Un altre exemple de possible comanda:                 |||+++++++++ la qual cosa vol dir que tothom ha demanat cafè. En Jaume, ara ja veu força clar què és el que ha de fer per calcular totes les possibilitats, ja que identifica el problema com un un cas de permutacions amb repetició on en totes les disposicions han d'aparèixer 11 símbols: 9 creus i dues barres separadores. Per tant, podrien haver fet             11 ! / (9! 2!) = 55 comandes Observacions: Altres problemes relacionats amb el problema del cambrer: Distribució d'un conjunt de boles indistigibles en un determinat nombre de compartiments Les diverses maneres d'expressar un nombre natural com a suma de n nombres naturals més petits que el donat

[nota del autor]

Sean N bolas indistinguibles que queremos ordenar en n urnas ... ( Artículo escrito en catalán )

Aquest és un problema enparentat amb el problema del cambrer del qual vaig parlar fa un parell de dies. Es resol de la mateixa manera. Potser, així, plantejat com un problema de boles idèntiques (indistingibles) a ordenar en un determinat nombre de caixes és com en la literatura apareix amb més freqüència, quan hom es vol referir a aquesta familia de problemes. Enunciat: Donades N boles indistingibles, quantes realitzacions són possibles a l'hora d'ordenar-les en n caixes (N, és clar, ha de ser igual o més gran que n). Resolució: De la mateixa manera que hem fet en el problema del cambrer pensem en una codificació adequada per visualitzar la naturalesa del problema. Imaginem les caixes alineades: ens faran falta n-1 separadors ("|"). Les boles ("x") les posarem en cadascuna de les n caixes, sense cap restricció en el nombres d'ocupació de les caixes, en el sentit que en una mateixa caixa hi podrem posar més d'una bola, o bé, deixar-la buida. Experimentem amb un exemple. Considerem que N=4 i que n=3. Ens fan falta 3-1=2 símbols separadors. Escriuré, unes quantes realitzacions/ordenacins per tal que quedi ben clar el que vull dir:                 x|xx|x     (una bola a la caixa c1, dues a la caixa c2, i una més a c3)                 xxxx||     (totes les boles es troben a c1)                 x|x|xx     (una bola a la caixa c1, una més a la caixa c2, i dues a c3)                 ||xxxx     (totes les boles es troben a c3)                 ... Per saber quantes realitzacions són possibles només cal que ens adonem que es tracta de permutar, amb repetició, 4+(3-1) símbols: les quatre "x" i les dues "|". Hi haurà d'haver, doncs, (4+(3-1))!/ (4! (3-1)!) = 15 realitzacions. Generalitzem: Vist això, i generalitzant a N boles indistingibles i n caixes tindrem (N+(n-1))! / (N! (n-1)! ordenaciones possibles. Aquest problema, en tractarse d'un cas d'ordenació d'objectes que es poden repetir en els llocs on van ubicats, sense que tingui rellevància l'odre, es classifica como un problema combinacions amb repetició.

[nota del autor]

Determinar la ecuación de la recta del plano que pasa por los puntos ... ( Artículo escrito en catalán )

Donats els punts del pla $A(2,5)$ i $B(-1,-2)$, determineu l'equació de la recta que passa per aquests punts:

a) en forma vectorial
b) en forma paramètrica
c) en forma contínua
d) en forma explícita
e) en forma general

a)    
Considerant un punt qualsevol de la recta $r$
$P(x,y)$
on $x$ i $y$ són les variables (independent i dependent, respectivament)
observem que els vectors
$\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{OA}$ i $\overrightarrow{AP}$
compleixen que
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$
i com que
$\overrightarrow{OP} \propto \overrightarrow{AB}$
podem trobar un nombre real $\lambda$ tal que
$\overrightarrow{AP}=\lambda \, \overrightarrow{AB}$
i, per tant
s'ha de complir que
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \, \overrightarrow{AB}$
que s'anomena equació vectorial de la recta

la qual, escrita en components, es pot posar també així
$(x,y)=(2,5)+\lambda \, (-3,-7)$

b)     De l'equació vectorial de l'apartat anterior en surten dues
equacions escalars (les equacions paramètriques, amb paràmetre: $\lambda$):

$\left.\begin{matrix}x=2-3\,\lambda \\y=5-7\,\lambda\\ \end{matrix}\right\}$

c)     Aïllant el paràmetre $\lambda$ de totes dues equacions
$\left.\begin{matrix}\lambda=\dfrac{x-2}{-3} \\ \\ \lambda=\dfrac{y-5}{-7} \\ \end{matrix}\right\}$

i, igualant els segons membres i simplificant, en surt l'equació en forma contínua

$\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-5}{7}$

d)     De l'equació anterior, fem els passos d'àlgebra per tal de deixar la variable $y$, tota sola, en el primer membre, i trobem l'expressió de la recta en forma explícita

$y=\dfrac{7}{3}\,x+\dfrac{1}{3}$

(el pendent de la recta $m$ és igual a
$\dfrac{7}{3}$
i l'ordenada a l'origen val
$\dfrac{1}{3}$)

d)     Agrupant tots els termes en un mateix membre i reduint a comú denominador arribem a la forma general ($ax+by+c=1$)

$7x-3y+1=0$

(on $a=7$, $b=-3$, i $c=1$)

$\square$

[nota del autor]

Sea la sucesión ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu la successió
$\{1 \;,\; \dfrac{1}{3} \;,\; \dfrac{1}{9} \;,\; \dfrac{1}{27} \;,\; \dfrac{1}{81} \;,\; \ldots \}$
Quant val la suma dels infinits termes ?

Resolució:

És fàcil veure que es tracta d'una successió geomètrica de raó $r=3^{-1}$ i primer terme $a_1=1$, per tant, la fórmula de la suma dels $n$ primers termes és igual a

$s_{n}=a_{1}\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$

que, amb els valors donats, es concreta de la forma

$s_{n}=3\,\cdot\,\dfrac{1-{3}^{-n}}{2}$

Llavors, la suma dels infinits termes vindrà donada per

$\displaystyle s_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}\,3\,\cdot \,\dfrac{1-{3}^{-n}}{2}=\dfrac{3}{2} \, \cdot \, \Big(\lim_{n \rightarrow \infty} \big(1-{3}^{-\infty}\big)\Big)=\dfrac{3}{2}\,\cdot\,\big(1-0\big)=\dfrac{3}{2}$

$\square$

[nota del autor]

De cuántas maneras puede formarse ... ( Artículo escrito en catalán )

De quantes maneres es pot escollir una comissió formada per 5 persones d'un grup de 45 persones tenint en compte les següents condicions: a) Pau s'estima més no formar part del comité b) Ni Pau ni Rosa volen formar-ne part c) Teresa, necessàriament, ha de formar part del comité Queda ben clar que no poden repetir-se els objectes a ordenar (les persones) i que no hi fa res l'odre amb què escollim els membres del comité, per tant, identifiquem el problema com un p. de combinacions ordinàries. És fàcil, ara, donar resposta a les preguntes: a) C45-1,5 = ... = 1086008 b) C45-2,5 = ... = 962598 c) C45-1,4 = ... = 135751

[nota del autor]

Significado geométrico de las razones trigonométricas en la circunferencia de referencia

[nota del autor]

¿Cómo leer un reloj con salida binaria?

[nota del autor]

Intercalar los cinco términos consecutivos de una sucesión geométrica tal que ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:

Intercaleu els cinc termes consecutius d'una successió geomètrica entre els termes de valors: $2$ i $3$.

Resolució:
El terme general d'una successió geomètrica de raó igual a $r$ s'escriu de la forma
$a_n=a_1 \, r^{n-1}$
Tenint en compte que, comptant el primer i l'últim terme (els que venen donats per l'enunciat), intervenen set termes en total, escriurem
$3=2 \, r^{7-1}$
i, d'aquí, podem deduir el valor de $r$

$r= \sqrt[6]{\dfrac{3}{2}}$

que també es pot escriure en forma de potència d'exponent racional

$r= \big(\dfrac{3}{2}\big)^{\frac{1}{6}}$

Llavors, tenint en compte que $a_1=2$

$a_2=r \cdot a_{1}=\ldots=3^{\frac{1}{6}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}$

$a_3=r \cdot a_{2}=\ldots=3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

$a_4=r \cdot a_{3}=\ldots=6^{\frac{1}{2}}$

$a_5=r \cdot a_{4}=\ldots=\ldots=3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

$a_6=r \cdot a_{5}=\ldots=\ldots=3^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}$

Observem que, efectivament, $a_7=3$

$a_7=r \cdot a_{6}=\ldots=\ldots=3$

Observació:
Naturalment, també podem calcular els termes fent
$a_2=a_1 \cdot r$
$a_3=a_1 \cdot r^2$
$a_4=a_1 \cdot r^3$
etcètera
$\square$

[nota del autor]

Intercalar los cinco términos consecutivos de una sucesión aritmética ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:

Intercalar els cinc termes consecutius d'una successió aritmètica entre els termes de valors: $2$ i $3$.

Resolució:
El terme general d'una successió aritmètica de diferència igual a $d$ s'escriu de la forma
$a_n=a_1+(n-1)\,d$
Tenint en compte que, comptant el primer i l'últim terme (els que venen donats per l'enunciat), intervenen set termes en total, escriurem
$3=2+(7-1)\,d$
i, d'aquí, podem deduir el valor de $d$
$d=1/6$
Llavors
$a_2=a_1+d=2+\dfrac{1}{6}=\dfrac{13}{6}$

$a_3=a_2+d=\dfrac{13}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{3}$

$a_4=a_3+d=\dfrac{7}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{2}$

$a_5=a_3+d=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{8}{3}$

$a_6=a_3+d=\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{17}{6}$

Observem que, efectivament, $a_7=3$

$a_7=a_3+d=\dfrac{17}{6}+\dfrac{1}{6}=3$

Observació:
Naturalment, també podem calcular els termes fent
$a_2=a_1 + d$
$a_3=a_1 + 2d$
$a_4=a_1 + 3d$
etcètera
$\square$

[nota del autor]

Un pájaro, posado en ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un ocell, posat en A o bé en B, tarda el mateix temps a arribar a la font F, volant a la mateixa velocitat i en línia recta. Tenint en compte les dades que veieu a la figura, calculeu el valor de $x$ (la posició de la font)

Resolució:
Si l'ocell tarda el mateix temps, volant a la mateixa velocitat, tant de A a F com de B a F, les longituds dels segments AF i BF han de ser iguals; per tant, i d'acord amb el teorema de Pitàgores (vegeu els triangles rectangles que es configuren a la figura), podem plantejar la següent equació
$30^2+x^2=40^2+(50-x)^2$
Desenvolupant el binomi al quadrat del segon membre i simplificant, comprovarem que s'anul·len els termes quadràtics i ens queda una senzilla equació de primer grau, la solució de la qual és
$x=32 \, \text{m}$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la probabilidad de que un número natural tal que (...), elegido al azar ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu tots els nombres naturals més grans o iguals que $1000$ i més petits o iguals que $9999$. Quant val la probabilitat que, escollint un d'aquests nombres a l'atzar, sigui un nombre capicua.

Resolució:
El nombre de nombres naturals de quatre xifres (la de les unitats ha de ser diferent de zero) és $9000$. El nombre de capicues de quatre xifres és igual a $9 \cdot 10$, és a dir, $90$, atès que, fent ús del principi multiplicatiu, hi ha $9$ maneres d'escollir la xifra de la parella de les xifres de les unitats de miler i de la de les unitats - entre les xifres $\{1,2,\ldots,9\}$ - car ambdues han de ser la mateixa pel fet de tractar-se d'un capicua; i tenim $10$ possibilitats - $\{0,1,2,\ldots,9\}$ - per escollir tant la xifra de les centenes com la de les desenes (han de ser la mateixes).

Per tant, pel principi de Laplace, la probabilitat demanada és igual a
      $\dfrac{90}{9000}$
és a dir, un $1 \, \%$

$\square$

[nota del autor]

Una combinación de la lotería primitiva ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una combinació de la loteria primitiva està formada per sis nombres naturals diferents escollits entre l'1 i el 49. Quantes combinacions es poden donar ?

Solució:
Es tracta d'un problema en el qual l'ordre dels objectes (els nombres) no és rellevant. Llavors, cal classificar-lo com un problema de combinacions. I, atès que els objectes a ordenar no es poden repetir (a mida que van sortint els nombres, de la sèrie de sis, es van retirant), es tracta d'un problema de combinacions ordinàries. Identificat el tipus de problema, ja podem aplicar el procediment de càlcul que li correspon:

    $C_{49\,,\,6}=\dfrac{49!}{(49-6)!\,3!}=\dfrac{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46\cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 }=\ldots =13\,983\,816$

$\square$

[nota del autor]

Resolver las siguientes ecuaciones polinómicas de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu les següents equacions:
    a)   $5\,x^2-320=0$
    b)   $(6\,x-5)^2-9=0$
    c)   $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0$
    d)   $4\,x^2+16\,x=0$
    e)   $x^2+3\,x-10=0$
    f)   $x^2+1=0$
    g)   $x^2+x+1=0$
    h)   $x^2-6\,x+9=0$
    i)   $x^2=x^2+1$
    j)   $x^2+2\,x+1=(x+1)^2$

Solució:

  a)
    $5\,x^2-320=0$
      $5\,x^2=320$
      $x^2=\dfrac{320}{5}$
      $x^2=64$
      $x=\sqrt{64}$
          $=\pm 8$


  b)
    $(6\,x-5)^2-9=0$
      $(6\,x-5)^2=9$
      $(6\,x-5)=\sqrt{9}$
      $(6\,x-5)=\pm 3$
      $6\,x=\pm 3+5$
      $x=\dfrac{\pm 3+5}{6}$
          $x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{3+5}{6}=\dfrac{4}{3}\\ \vee \\ \dfrac{-3+5}{6}=\dfrac{1}{3}\\ \end{matrix}\right.$

  c)
    $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0$
      $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5-2\,x=0 \Rightarrow 5=2\,x \Rightarrow x=\frac{5}{2}\\ \vee \\ 3+4\,x=0 \Rightarrow 3=-4\,x \Rightarrow x=-\frac{3}{4} \end{matrix} \right.$

  d) 
    $4\,x^2+16\,x=0$
      $4\,x \cdot \big(x+4\big)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4\,x=0 \Rightarrow x=0 \\ \vee \\ x+4=0 \Rightarrow x=-4 \end{matrix} \right.$

  e)
    $x^2+3\,x-10=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=3$ i $c=-10$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=49 \succ 0 \Rightarrow$   la solució consta de dos valors diferents:

        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$

          $x=\dfrac{-3 \pm 7}{2\,a}$

          $x=\left\{\begin{matrix} \dfrac{-3+7}{2}=2 \\ \\ \dfrac{-3-7}{2}=-5\end{matrix} \right.$

  f)
    $x^2+1=0$
        $x^2=-1$
        $x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$     No hi ha cap nombre real com a solució de l'equació.

  g)
    $x^2+x+1=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=1$ i $c=1$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=-3 \prec 0 \Rightarrow \sqrt{-3} \notin \mathbb{R}$
llavors
        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2 \cdot 1 } \notin \mathbb{R}$
és a dir, no hi ha cap nombre real com a solució de l'equació.


  h)
    $x^2-6\,x+9=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=-6$ i $c=9$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=0 \Rightarrow$   hi ha un sol valor com a solució, amb multiplicitat igual a $2$.

Aplicant el procediment rutinari,
        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$

        $x=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}$

            $=\dfrac{-(-6) \pm 0}{2\cdot 1}$

            $=\dfrac{6}{2}$

            $=3$   ( multiplicitat dos )

  i)
Aquesta equació,
    $x^2=x^2+1$
és incompatible (no té solució), atès que, cancel·lant els termes de 2n grau d'ambdós membres (simplificant l'equació), arribem a una contradicció
en efecte
    $x^2-x^2=x^2-x^2+1$
és a dir
    $0=1$

  j)
L'equació
    $x^2+2\,x+1=(x+1)^2$
és una equació trivial, atès que, si desenvolupem el binomi al quadrat del 2n membre ens trobem amb una expressió idèntica a la del primer membre
    $x^2+2\,x+1=x^2+2\,x+1 \quad \quad (1)$
( Comentari: per aquesta raó, aquests tipus d'igualtats algèbriques també s'anomenen identitats )
Simplificant, doncs, els termes semblants de (1), trobem
$0\cdot x^2+0\cdot x + 0 = 0$
per tant, tots els nombres són solució de l'equació.

$\square$

[nota del autor]

Uno de los problemas de la matemática griega clásica era el conocido como la cuadratura del círculo ... ( Artículo escrito en catalán )

Un dels grans problemes de la matemàtica grega clàssica era el conegut com la quadratura del cercle, consistent a trobar, amb procediments de regle i compàs, un quadrat que tingués la mateixa àrea que la d'un cercle donat. Dos mil anys més tard, concretament l'any 1882, el matemàtic Ferdinand von Lindemann va poder demostrar que aquest problema no té solució [ Tampoc tenen solució els altres dos problemes emblemàtics de la geometria grega clàssica: la duplicació del cub, i el de la trisecció d'un angle ].

Els antics matemàtics grecs van abordar el problema apropant-se primer al problema més senzill de la quadratura de les lúnules (la figura mostra dues lúnules). El pitagòric Hipòcrates de Quios (470 aC – 400 aC) va poder demostrar la quadratura d'algunes lúnules, no pas de totes. A començament del segle XX es va demostrar també que el problema general de la quadratura de les lúnules tampoc té solució, llevat dels casos particulars de les lúnules d'Hipocràtes de Quios així com d'alguns altres casos particulars exposats per Lenonhard Euler (segle XVIII).

[nota del autor]

En un examen de tipo test ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un examen tipus test consiteix a respondre 15 qüestions contestant "vertader" o "fals". De quantes maneres es pot contestar ?

Solució:
Es tracta d'un problema en el qual l'ordre amb què anem posant els objectes (les respostes) és, evidentment, rellevant. Llavors, és un problema de variacions. I, atès que, a més a més, els objectes a ordenar (les respostes) es repeteixen en diversos llocs (preguntes), es tracta, concretament, d'un problema de variacions amb repetició. Identificat el tipus de problema, ja podem aplicar el procediment de càlcul que li correspon (tal com s'ha justificat a classe): el nombre de maneres possibles d'emplenar el formulari és igual a

    $VR_{2\,,\,15}=2^{15}=32\,768$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Ecuaciones de segundo grado ...

Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación polinómica de segundo grado
            $x^2+5\,x+6=0$
sin hacer uso de la fórmula
           
$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$

Solución:
    $x^2+5\,x+6=0$
Teniendo en cuenta la identidad notable
      $(p+q)^2=p^2+2\,pq+q^2$
podemos expresar el primer miembro de la ecuación de la forma
        $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2 - \dfrac{25}{4}+6$
con lo cual podemos escribirla de la forma

    $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2 - \dfrac{25}{4}+6=0$

así, tan sol es necesario deshacer el cuadrado del binomio
      $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2=\dfrac{25}{4}-6$
y despejar a continuación la variable
      $x+\dfrac{5}{2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}$

      $x+\dfrac{5}{2}=\pm \dfrac{1}{2}$

      $x=-\dfrac{5}{2}\pm \dfrac{1}{2}$

      $x=\dfrac{-5 \pm 1}{2}$

      $x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-5+1}{2}=-2 \\ \\\dfrac{-5-1}{2}=-3 \\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[nota del autor]

Hemos comprado una calculadora científica ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Hem comprat una calculadora científica en un establiment A que l'oferia rebaixat d'un $6\%$ (sobre el preu nominal) i ens ha costat $12,50 \, \text{euros}$. Un amic s'ha comprat la mateixa calculadora en una altra botiga, que venien rebaixada en un $8\%$ (sobre el preu nominal). Quant li ha costat al nostre amic ?

Solució:

Anomenem:
    $x$, al preu nominal de la calculadora
    $y$, a la quantitat que ha pagat el nostre amic

Plantegem les següents proporcions:

    $\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{12,50} \quad \quad \quad (1)$


    $\dfrac{100-8}{100}=\dfrac{y}{x} \quad \quad \quad (2)$

Multiplicant, membre a membre, les igualtats (2) i (1), s'obté

    $\dfrac{100}{94}\cdot \dfrac{92}{100}=\dfrac{x}{12,50}\cdot \dfrac{y}{x}$

expressió que, simplificant $x$, queda

    $\dfrac{92}{94}=\dfrac{y}{12,50}$

i, d'aquí, s'ha de complir que

    $12,50 \cdot 92 = 94 \, y$

llavors,

    $y=12,50 \cdot \dfrac{92}{94}$

        $\approx 12,23 \; \text{euros}$   ( aproximant el resultat per arrodoniment amb 4 xifres significatives )

$\square$

[nota del autor]

Para enviar una carta ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Per enviar una carta es necessiten 90 cèntims d'euro en segells. Si disposem de segells de 50, 20 i 10 cèntims d'euro (els posem empegats en fila) de quantes maneres podem franquejar la carta si: a) no tenim en compte l'ordre en què posem els segells; b) si tenim en compte l'odre del segells.

Solució:
a) Si no és rellevant l'odre en què posem els segells, podem fer el recompte de possibilitats relacionant-les una a una:
Per això, anomenem:
    C als segells de 50 cèntims
    V als segells de 20 cèntims
    D als segells de 10 cèntims
Llavors, podem fer el recompte simplement codificant el nombre de segells de cada tipus, atenent a l'odre arbitrari {C|V|D}. Podem comprovar que hi ha 8 possibilitats:
            {C|V|D}
          ========
      $P_1$: {0|0|9}     ( 9 segells de deu cèntims)
      $P_2$: {0|1|7}     ( 1 segell de vint cèntims i 7 de deu cèntims)
      $P_3$: {0|2|5}     ...
      $P_4$: {0|3|3}     ...
      $P_5$: {0|4|1}     ...
      $P_6$: {1|2|0}     ...
      $P_7$: {1|1|2}     ...
      $P_8$: {1|0|4}     ...

b) Si, ara, cal considerar l'odre en què posem els segells en fila, caldrà que entenguem que cal calcular, grup a grup, el nombre de possibilitats tenint en compte que cal resoldre problemes de permutacions amb elements repetits per a cada $P_i$ (i=1,2,...8); i, finalment, pel principi d'addició, sumarem els resultats obtinguts per reunir totes les possibilitats. Obtenint,

    $1+\dfrac{8!}{7! \cdot 1!}+\dfrac{7!}{5! \cdot 2!}+\dfrac{6!}{3! \cdot 3!}+\dfrac{5!}{4! \cdot 1!}+\dfrac{3!}{2! \cdot 1!}+\dfrac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!}+\dfrac{5!}{4! \cdot 1!}$

      $=75$ possibilitats

$\square$

[nota del autor]