ENUNCIADO. Se sabe que la media aritmética del siguiente conjunto de datos $\{1,4,a,b\}$ es $\dfrac{5}{2}$ y que la varianza es $s^2=\dfrac{5}{4}$. Calcular el valor de los datos $a$ y $b$.
SOLUCIÓN. Aplicando la definición de media, $$\bar{x}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1+4+a+b}{4}$$ y teniendo en cuenta su valor, podemos escribir la ecuación $$\dfrac{5+a+b}{4}=\dfrac{5}{2}$$ esto es $$a+b=5 \quad \quad \quad (1)$$ Por otra parte, por la definición de varianza $$s^2\overset{\text{def}}{=}\overline{x^2}-(\bar{x})^2$$ es decir $$\dfrac{1^2+4^2+a^2+b^2}{4}-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}$$ y simplificando, $$a^2+b^2=13 \quad \quad \quad (2)$$ Despejando $a$ de (1) y sustituyendo en $2$ llegamos a la siguiente ecuación en $b$ $$(5-b)^2+b^2=13$$ esto es $$2\,b^2-10\,b+12=0$$ con lo cual $$b=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{(-10)^2-4\cdot 2 \cdot 12}}{2\cdot 2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ \\ 3\end{matrix}\right.$$ Entonces, si $b=3$ deducimos de (1) que $a=2$; y vice versa, si $b=2$ deducimos de (1) que $a=3$; luego los valores pedidos son $2$ y $3$. $\square$
domingo, 28 de mayo de 2017
jueves, 25 de mayo de 2017
Probabilidades de la suma de puntuaciones al lanzar dos dados
Al lanzar dos dados de parchís, la suma de las puntuaciones ha de estar en el siguiente conjunto de valores: $\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$. Mediante una tabla de doble entrada, de $6$ filas y $6$ columnas ( las puntuaciones de las seis caras de un dado ), en la que en las celdas aparezcan los valores de la suma que encontramos que al escoger fila y columna, podemos contabilizar el número de veces que aparece cada posible resultado de la suma, lo cual podemos hacer cómodamente en la siguiente tabla de doble entrada
Así, pues, aplicando la regla de Laplace, vemos que las probabilidades de cada uno de ellos son:
$P(\text{suma}=2)=P(\text{suma}=12)=\dfrac{1}{36}$
$P(\text{suma}=3)=P(\text{suma}=11)=\dfrac{2}{36}$
$P(\text{suma}=4)=P(\text{suma}=10)=\dfrac{3}{36}$
$P(\text{suma}=5)=P(\text{suma}=9)=\dfrac{4}{36}$
$P(\text{suma}=6)=P(\text{suma}=8)=\dfrac{5}{36}$
$P(\text{suma}=7)=\dfrac{6}{36}$
$\square$
Así, pues, aplicando la regla de Laplace, vemos que las probabilidades de cada uno de ellos son:
$P(\text{suma}=2)=P(\text{suma}=12)=\dfrac{1}{36}$
$P(\text{suma}=3)=P(\text{suma}=11)=\dfrac{2}{36}$
$P(\text{suma}=4)=P(\text{suma}=10)=\dfrac{3}{36}$
$P(\text{suma}=5)=P(\text{suma}=9)=\dfrac{4}{36}$
$P(\text{suma}=6)=P(\text{suma}=8)=\dfrac{5}{36}$
$P(\text{suma}=7)=\dfrac{6}{36}$
$\square$
lunes, 22 de mayo de 2017
domingo, 21 de mayo de 2017
Número de diagonales de un polígono convexo
ENUNCIADO. ¿ Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono convexo de $n$ vértices ?
SOLUCIÓN. Una diagonal de un polígono convexo es todo segmento cuyos extremos sean dos vértices no consecutivos. Así pues un triángulo no tiene ninguna diagonal, un cuadrilátero tiene dos, un pentágono tiene cinco, etcétera. Consideremos un polígono de un número arbitrario de vértices; para encontrar una función de $n$ cuyo valor sea el número de diagonales pedido, podemos razonar del siguiente modo.
Situémonos en un vértice cualquiera del polígono. Desde dicho vértice podemos enviar un segmento de recta a todos los demás vértices salvo a tres: al vértice consecutivo de la izquierda, al de la derecha, y el propio vértice donde nos situamos. De este modo podemos enlazar $n-3$ segmentos desde dicho vértice, pero como podemos situarnos en cualquiera de los $n$ vértices, por el principio multiplicativos contabilizamos $n\,(n-3)$. Ahora bien, así, dichos enlaces se cuentan por partida doble, ya que el recuento no distingue entre el extremo desde el cual trazamos los segmentos, luego habrá que corregir ésto dividiendo entre $2$. En consecuencia, el número de diagonales $f(n)$ es igual a $$f(n)=\dfrac{n\,(n-3)}{2}=\dfrac{n^2-3\,n}{2}$$
Otra forma de llegar al mismo resultado consiste en ( primero ) hacer el recuento del número de segmentos que podemos trazar considerando $n$ vértices tomados de dos en dos, reconociendo que no importa el orden en que lo hagamos, y que es igual a $\binom{n}{2}$. Y, a continuación, descartar los $n$ lados del polígono de entre este conjunto de segmentos. Con lo cual llegamos a $$f(n)=\binom{n}{2}-n=\dfrac{n^2-3\,n}{2}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Una diagonal de un polígono convexo es todo segmento cuyos extremos sean dos vértices no consecutivos. Así pues un triángulo no tiene ninguna diagonal, un cuadrilátero tiene dos, un pentágono tiene cinco, etcétera. Consideremos un polígono de un número arbitrario de vértices; para encontrar una función de $n$ cuyo valor sea el número de diagonales pedido, podemos razonar del siguiente modo.
Situémonos en un vértice cualquiera del polígono. Desde dicho vértice podemos enviar un segmento de recta a todos los demás vértices salvo a tres: al vértice consecutivo de la izquierda, al de la derecha, y el propio vértice donde nos situamos. De este modo podemos enlazar $n-3$ segmentos desde dicho vértice, pero como podemos situarnos en cualquiera de los $n$ vértices, por el principio multiplicativos contabilizamos $n\,(n-3)$. Ahora bien, así, dichos enlaces se cuentan por partida doble, ya que el recuento no distingue entre el extremo desde el cual trazamos los segmentos, luego habrá que corregir ésto dividiendo entre $2$. En consecuencia, el número de diagonales $f(n)$ es igual a $$f(n)=\dfrac{n\,(n-3)}{2}=\dfrac{n^2-3\,n}{2}$$
Otra forma de llegar al mismo resultado consiste en ( primero ) hacer el recuento del número de segmentos que podemos trazar considerando $n$ vértices tomados de dos en dos, reconociendo que no importa el orden en que lo hagamos, y que es igual a $\binom{n}{2}$. Y, a continuación, descartar los $n$ lados del polígono de entre este conjunto de segmentos. Con lo cual llegamos a $$f(n)=\binom{n}{2}-n=\dfrac{n^2-3\,n}{2}$$
$\square$
martes, 16 de mayo de 2017
jueves, 11 de mayo de 2017
Límite de una sucesión convergente
ENUNCIADO. Explíquese qué representa el límite de una sucesión convergente. Calcular el límite de la sucesión convergente $f(n)=\dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$ cuando $n$ tiende a $\infty$. Esto es, calcúlese $$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$$
SOLUCIÓN. Calculando los valores sucesivos de los términos de la sucesión para valores cada vez más grandes de $n$, vemos que éstos se aproximan cada vez más a $1,3333\ldots$, esto es, a $\dfrac{4}{3}$. Si ocurre algo así decimos que la sucesión está acotada y, además, en este caso, que es convergente a $\dfrac{4}{3}$. Este valor parece ser el llamado límite de la sucesión convergente. Si el límite existe es único.
Procedamos ahora a realizar el llamado cálculo del límite. Si sustituimos $n$ por $\infty$ en $f(n)=\dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$ -- a lo que denominamos paso al límite -- nos encontramos con $\dfrac{\infty}{\infty}$, que es una indeterminación. Debemos resolverla; para ello, haremos ahora un poco de álgebra: dividiendo el numerador y el denominador de la expresión de la sucesión por la potencia de $n$ con mayor exponente que encontramos en ella, esto es, por $n^2$, obtenemos:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$
$=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{3\,\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2}{n^2}}$
$=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{3-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$
Volviendo ahora a pasar al límite obtenemos $$\dfrac{4+\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}}{3-\frac{1}{\infty}+\frac{2}{\infty}}=\dfrac{4+0-0}{3-0+0}=\dfrac{4}{3}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Calculando los valores sucesivos de los términos de la sucesión para valores cada vez más grandes de $n$, vemos que éstos se aproximan cada vez más a $1,3333\ldots$, esto es, a $\dfrac{4}{3}$. Si ocurre algo así decimos que la sucesión está acotada y, además, en este caso, que es convergente a $\dfrac{4}{3}$. Este valor parece ser el llamado límite de la sucesión convergente. Si el límite existe es único.
Procedamos ahora a realizar el llamado cálculo del límite. Si sustituimos $n$ por $\infty$ en $f(n)=\dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$ -- a lo que denominamos paso al límite -- nos encontramos con $\dfrac{\infty}{\infty}$, que es una indeterminación. Debemos resolverla; para ello, haremos ahora un poco de álgebra: dividiendo el numerador y el denominador de la expresión de la sucesión por la potencia de $n$ con mayor exponente que encontramos en ella, esto es, por $n^2$, obtenemos:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$
$=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{3\,\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2}{n^2}}$
$=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{3-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$
Volviendo ahora a pasar al límite obtenemos $$\dfrac{4+\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}}{3-\frac{1}{\infty}+\frac{2}{\infty}}=\dfrac{4+0-0}{3-0+0}=\dfrac{4}{3}$$
$\square$
Dominio de definición y recorrido ( conjunto imagen ) de una función
ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\ln\,(x+1)$
SOLUCIÓN. La función logaritmo sólo está definida para números positivos, luego $\text{Dom}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. Veamos ahora cuál es el conjunto imagen de dicha función. Como se trata de una función biyectiva, tiene asociada una función recíproca $f^{-1}$( que es única ), y, por tanto deberá cumplirse que $\text{Dom}\,f^{-1}=\text{Im}\,f$. Calcularemos pues la función recíproca y su dominio de definición. Por la propiedad fundamental de los logaritmos podemos escribir $$x+1=e^y$$ luego $$x=e^y-1$$ Y, así, la estructura de la función recíproca es $f^{-1}(x)=e^x-1$ cuyo dominio de definición es $\mathbb{R}$, luego por la propiedad reseñada arriba concluimos que $\text{Im}\,f=\mathbb{R}$
$\square$
SOLUCIÓN. La función logaritmo sólo está definida para números positivos, luego $\text{Dom}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. Veamos ahora cuál es el conjunto imagen de dicha función. Como se trata de una función biyectiva, tiene asociada una función recíproca $f^{-1}$( que es única ), y, por tanto deberá cumplirse que $\text{Dom}\,f^{-1}=\text{Im}\,f$. Calcularemos pues la función recíproca y su dominio de definición. Por la propiedad fundamental de los logaritmos podemos escribir $$x+1=e^y$$ luego $$x=e^y-1$$ Y, así, la estructura de la función recíproca es $f^{-1}(x)=e^x-1$ cuyo dominio de definición es $\mathbb{R}$, luego por la propiedad reseñada arriba concluimos que $\text{Im}\,f=\mathbb{R}$
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Función recíproca asociada a una función biyectiva
ENUNCIADO. Dada la función biyectiva $f(x)=2^{x+1}$, calcular la función recíproca $f^{-1}(x)$ y representar $f(x)$ y $f^{-1}(x)$ en un mismo diagrama cartesiano.
SOLUCIÓN. Escribiendo la función dada (por comodidad) de la forma $y=2^{x+1}$, y sacando logaritmos ( nos proponemos despejar la variable $x$ ), obtenemos $$\ln\,y=\ln\,2^{x+1}$$ y por las propiedades de los logaritmos, $$\ln\,y=(x+1)\cdot \ln\,2$$ y por tanto $$x=\dfrac{\ln\,y}{\ln\,2}-1$$ que nos da la estructura de la función recíproca $f^{-1}$ asociada a la función $f$; esto es, $$f^{-1}(x)=\dfrac{\ln\,x}{\ln\,2}-1$$
A continuación se muestra las gráficas de las funciones $f(x)$, $f^{-1}(x)$ y de la función identidad $\text{Id}(x)$ en un mismo diagrama. Es importante recordar que la gráfica de la función identidad ( recta bisectriz del los cuadrantes primero y tercero, pues $\text{Id}(x)=x$ es lo mismo que decir $y=x$ ) hace el papel de recta de simetría ( por reflexión ) de las gráficas de las funciones directa y recíproca.
$\square$
SOLUCIÓN. Escribiendo la función dada (por comodidad) de la forma $y=2^{x+1}$, y sacando logaritmos ( nos proponemos despejar la variable $x$ ), obtenemos $$\ln\,y=\ln\,2^{x+1}$$ y por las propiedades de los logaritmos, $$\ln\,y=(x+1)\cdot \ln\,2$$ y por tanto $$x=\dfrac{\ln\,y}{\ln\,2}-1$$ que nos da la estructura de la función recíproca $f^{-1}$ asociada a la función $f$; esto es, $$f^{-1}(x)=\dfrac{\ln\,x}{\ln\,2}-1$$
A continuación se muestra las gráficas de las funciones $f(x)$, $f^{-1}(x)$ y de la función identidad $\text{Id}(x)$ en un mismo diagrama. Es importante recordar que la gráfica de la función identidad ( recta bisectriz del los cuadrantes primero y tercero, pues $\text{Id}(x)=x$ es lo mismo que decir $y=x$ ) hace el papel de recta de simetría ( por reflexión ) de las gráficas de las funciones directa y recíproca.
$\square$
Composición de funciones
ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=x+1$ y $g(x)=x^2+x+1$. Se pide:
a) La función $g \circ f$ ($f$ compuesta con $g$)
b) La función $f \circ g$ ($g$ compuesta con $f$)
c) El valor de función $(f \circ g)(2)$
d) El valor de función $(g \circ f)(2)$
SOLUCIÓN.
a)
$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2+(x+1)+1$
$=x^2+2x+1+x+1+1$
$=x^2+3x+3$ (1)
b)
$(f \circ g)(x)=f(g(x))=g(x^2+x+1)=(x^2+x+1)+1$
$=x^2+x+2$ (2)
c)
$(f \circ g)(2)=2^2+2+2$ ( sustituyendo $x$ por $2$ en (2) )
$=4+2+2$
$=8$
d)
$(g \circ f)(2)=2^2+3\cdot 2+3$ ( sustituyendo $x$ por $2$ en (1) )
$=4+6+3$
$=13$
$\square$
a) La función $g \circ f$ ($f$ compuesta con $g$)
b) La función $f \circ g$ ($g$ compuesta con $f$)
c) El valor de función $(f \circ g)(2)$
d) El valor de función $(g \circ f)(2)$
SOLUCIÓN.
a)
$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2+(x+1)+1$
$=x^2+2x+1+x+1+1$
$=x^2+3x+3$ (1)
b)
$(f \circ g)(x)=f(g(x))=g(x^2+x+1)=(x^2+x+1)+1$
$=x^2+x+2$ (2)
c)
$(f \circ g)(2)=2^2+2+2$ ( sustituyendo $x$ por $2$ en (2) )
$=4+2+2$
$=8$
d)
$(g \circ f)(2)=2^2+3\cdot 2+3$ ( sustituyendo $x$ por $2$ en (1) )
$=4+6+3$
$=13$
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Ejercicio de cinemática
ENUNCIADO. Dos móviles inician un movimiento rectilíneo desde el mismo punto de partida. El primer móvil se mueve de acuerdo con la fórmula $e=t$ y el segundo según la fórmula $e=\dfrac{1}{9}\,t^2$ , donde $t$ indica el tiempo transcurrido desde la partida ( medido en segundos ) y $e$ la distancia al punto de partida ( medida en metros ). Se pide:
a) Dibujar las dos gráficas en un mismo diagrama cartesiano
b) ¿ Cuánto tiempo tiene que transcurrir hasta que el segundo móvil alcance al primero ? ¿ A qué distancia del punto de partida lo alcanzará ?
SOLUCIÓN.
a)
b)
La respuesta a la pregunta viene dada por las coordenadas del punto de intersección de las dos funciones, luego $$t=\dfrac{1}{9}\,t^2$$ y por tanto $$9t-t^2=0$$ con lo cual $$t\,(9-t)=0 \Leftrightarrow t=\left\{\begin{matrix}0 \\ 9\end{matrix}\right.$$ Es evidente que el valor de la solución que nos interesa es el segundo, $9\,\text{s}$, pues el primer valor corresponde al instante en que los dos móviles salen (del mismo) punto de partida.
La distancia ( medida desde el punto de partida ) a la que el segundo móvil da alcance al primero es igual a $e(9)=9\,\text{m}$
$\square$
a) Dibujar las dos gráficas en un mismo diagrama cartesiano
b) ¿ Cuánto tiempo tiene que transcurrir hasta que el segundo móvil alcance al primero ? ¿ A qué distancia del punto de partida lo alcanzará ?
SOLUCIÓN.
a)
b)
La respuesta a la pregunta viene dada por las coordenadas del punto de intersección de las dos funciones, luego $$t=\dfrac{1}{9}\,t^2$$ y por tanto $$9t-t^2=0$$ con lo cual $$t\,(9-t)=0 \Leftrightarrow t=\left\{\begin{matrix}0 \\ 9\end{matrix}\right.$$ Es evidente que el valor de la solución que nos interesa es el segundo, $9\,\text{s}$, pues el primer valor corresponde al instante en que los dos móviles salen (del mismo) punto de partida.
La distancia ( medida desde el punto de partida ) a la que el segundo móvil da alcance al primero es igual a $e(9)=9\,\text{m}$
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Un ejercicio sobre las nociones de función de oferta y función de demanda. Equilibrio del mercado.
ENUNCIADO. En un mercado, las funciones de oferta y de demanda ( cuyos valores se miden en miles de unidades ) de un determinado producto, en función del precio $x$ ( medido en euros ) son $f(x)=\dfrac{1}{4}\,x^2$ y $g(x)=-\dfrac{1}{2}\,x^2+3$, respectivamente. Se pide:
a) Dibujar las gráficas de dichas funciones en un mismo diagrama
b) Decir cuáles son los dominios de definición de sendas funciones, teniendo en cuenta su significado
c) Calcular las coordenadas del punto de intersección de dichas gráficas.
Nota: Este punto representa un cierto equilibrio del mercado.
SOLUCIÓN.
a)
Representado las dos parábolas en un mismo diagrama cartesiando,
b)
Teniendo en cuenta que no tiene sentido que el valor de función de $g$ sea negativo, $\text{Dom}\,g=[0,r]\subset \mathbb{R}$, donde $r$ es la raíz positiva de dicha función, que obtenemos de igualar a cero el valor de función $$0=-\dfrac{1}{2}\,x^2+3 \Leftrightarrow x=\left|\sqrt{6}\right|$$ luego $$\text{Dom}\,g=[0,\left|\sqrt{6}\right|]\subset \mathbb{R}$$
Por otra parte es claro que
$$\text{Dom}\,f = [0,+\infty)\subset \mathbb{R}$$
c)
Obtenemos la abscisa del punto de intersección, $E$, de las dos parábolas igualando los valores de función $$\dfrac{1}{4}\,x^2=-\dfrac{1}{2}\,x^2+3$$ y por tanto $$x^2=-2\,x^2+12$$ luego $x^2=4$ con lo cual $x_{E}=\left|\sqrt{4}\right|=2\, \text{euros}$. Así, pues, la ordenada de dicho punto, $y_E$, es igual a $f(x_E)=f(2)=\dfrac{1}{4}\cdot 2^2=1\,\text{millar de unidades}$
$\square$
a) Dibujar las gráficas de dichas funciones en un mismo diagrama
b) Decir cuáles son los dominios de definición de sendas funciones, teniendo en cuenta su significado
c) Calcular las coordenadas del punto de intersección de dichas gráficas.
Nota: Este punto representa un cierto equilibrio del mercado.
SOLUCIÓN.
a)
Representado las dos parábolas en un mismo diagrama cartesiando,
b)
Teniendo en cuenta que no tiene sentido que el valor de función de $g$ sea negativo, $\text{Dom}\,g=[0,r]\subset \mathbb{R}$, donde $r$ es la raíz positiva de dicha función, que obtenemos de igualar a cero el valor de función $$0=-\dfrac{1}{2}\,x^2+3 \Leftrightarrow x=\left|\sqrt{6}\right|$$ luego $$\text{Dom}\,g=[0,\left|\sqrt{6}\right|]\subset \mathbb{R}$$
Por otra parte es claro que
$$\text{Dom}\,f = [0,+\infty)\subset \mathbb{R}$$
c)
Obtenemos la abscisa del punto de intersección, $E$, de las dos parábolas igualando los valores de función $$\dfrac{1}{4}\,x^2=-\dfrac{1}{2}\,x^2+3$$ y por tanto $$x^2=-2\,x^2+12$$ luego $x^2=4$ con lo cual $x_{E}=\left|\sqrt{4}\right|=2\, \text{euros}$. Así, pues, la ordenada de dicho punto, $y_E$, es igual a $f(x_E)=f(2)=\dfrac{1}{4}\cdot 2^2=1\,\text{millar de unidades}$
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Representación gráfica de una función de proporcionalidad inversa
ENUNCIADO. Dibujar la gráfica de la función $f(x)=\dfrac{1}{x-2}+3$ mediante traslaciones del trazo de la gráfica de la función de proporcionalidad inversa $g(x)=\dfrac{1}{x}$
SOLUCIÓN.
Desplazando rígidamente el trazo verde, $y=\dfrac{1}{x}$, dos unidades en la dirección y sentido positivo del eje de abscisas obtenemos el trazo de color rojo, $y=\dfrac{1}{x-2}$; y desplazando éste tres unidades en la dirección y sentido positivo del eje de ordenadas obtenemos el trazo azul, que corresponde a la función pedida $f(x)=\dfrac{1}{x-2}+3$, tal como se muestra en el gráfico:
SOLUCIÓN.
Desplazando rígidamente el trazo verde, $y=\dfrac{1}{x}$, dos unidades en la dirección y sentido positivo del eje de abscisas obtenemos el trazo de color rojo, $y=\dfrac{1}{x-2}$; y desplazando éste tres unidades en la dirección y sentido positivo del eje de ordenadas obtenemos el trazo azul, que corresponde a la función pedida $f(x)=\dfrac{1}{x-2}+3$, tal como se muestra en el gráfico:
Funciones cuadráticas. Parábolas. Elementos notables
ENUNCIADO. Hallar los elementos notables de la parábola $f(x)=(x+2)^2-1$ y dibujar la gráfica.
SOLUCIÓN.
Raíces: $0=(x+2)^2-1 \Leftrightarrow x+2=\pm 1 \Leftrightarrow x=-2\pm 1 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-2+1=-1\\ \\ -2-1= -3\end{matrix}\right.$
Entonces, $r_1=-3$ y $r_2=-1$. Hay pues dos puntos de corte con el eje de abscisas: $A_1(-3,0)$ y $A_2(-1,0)$
Vértice de la parábola: $x_v=\dfrac{r_1+r_2}{2}=\dfrac{-1+(-3)}{2}=-2$; $y_v=f(x_V)=f(-2)=(-2+2)^2-1=-1$. Luego el vértice es $V(-2,-1)$
Ecuación de la recta de simetría de la parábola: $x=x_v$, esto es, $\text{r.s.}:x=-2$
Ordenada en el origen: $f(0)=(0+2)^2-1=4-1=3$. Así pues el punto de corte con el eje de ordenadas es $B(0,3)$
Gráfica de la función:
$\square$
SOLUCIÓN.
Raíces: $0=(x+2)^2-1 \Leftrightarrow x+2=\pm 1 \Leftrightarrow x=-2\pm 1 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-2+1=-1\\ \\ -2-1= -3\end{matrix}\right.$
Entonces, $r_1=-3$ y $r_2=-1$. Hay pues dos puntos de corte con el eje de abscisas: $A_1(-3,0)$ y $A_2(-1,0)$
Vértice de la parábola: $x_v=\dfrac{r_1+r_2}{2}=\dfrac{-1+(-3)}{2}=-2$; $y_v=f(x_V)=f(-2)=(-2+2)^2-1=-1$. Luego el vértice es $V(-2,-1)$
Ecuación de la recta de simetría de la parábola: $x=x_v$, esto es, $\text{r.s.}:x=-2$
Ordenada en el origen: $f(0)=(0+2)^2-1=4-1=3$. Así pues el punto de corte con el eje de ordenadas es $B(0,3)$
Gráfica de la función:
$\square$
martes, 9 de mayo de 2017
Calculando la tasa de variación media de una función en diversos intervalos. Información que se desprende de sus valores.
ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=-x^2+3$. Se pide:
a) La tasa de variación media TVM de la función en los intervalos $[\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$ y $[-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}]$
b) Con los resultados del apartado anterior, ¿ qué información se obtiene sobre el comportamiento de la función para valores próximos a $\dfrac{1}{3}$ y $-\dfrac{1}{2}$, respectivamente ?
SOLUCIÓN.
a) Recordemos que $\text{TVM}([a,b])\overset{\text{def}}{=}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Entonces, $$\text{TVM}([\frac{1}{3},\frac{1}{2}])=\dfrac{f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{3})}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\dfrac{(-(\frac{1}{2})^2+3)-(-(\frac{1}{3})^2+3)}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=-\dfrac{5}{6} \prec 0$$
$$\text{TVM}([-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}])=\dfrac{f(-\frac{1}{3})-(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})}=\dfrac{(-(-\frac{1}{3})^2+3)-(-(-\frac{1}{2})^2+3)}{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})} = \dfrac{5}{6} \succ 0$$
b)
Como $\text{TVM}([\frac{1}{3},\frac{1}{2}]) \prec 0$, la función es decreciente alrededor de $x=\dfrac{1}{3}$
Como $\text{TVM}([-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}]) \succ 0$, la función es creciente alrededor de $x=-\dfrac{1}{2}$
$\square$
a) La tasa de variación media TVM de la función en los intervalos $[\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$ y $[-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}]$
b) Con los resultados del apartado anterior, ¿ qué información se obtiene sobre el comportamiento de la función para valores próximos a $\dfrac{1}{3}$ y $-\dfrac{1}{2}$, respectivamente ?
SOLUCIÓN.
a) Recordemos que $\text{TVM}([a,b])\overset{\text{def}}{=}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Entonces, $$\text{TVM}([\frac{1}{3},\frac{1}{2}])=\dfrac{f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{3})}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\dfrac{(-(\frac{1}{2})^2+3)-(-(\frac{1}{3})^2+3)}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=-\dfrac{5}{6} \prec 0$$
$$\text{TVM}([-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}])=\dfrac{f(-\frac{1}{3})-(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})}=\dfrac{(-(-\frac{1}{3})^2+3)-(-(-\frac{1}{2})^2+3)}{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})} = \dfrac{5}{6} \succ 0$$
b)
Como $\text{TVM}([\frac{1}{3},\frac{1}{2}]) \prec 0$, la función es decreciente alrededor de $x=\dfrac{1}{3}$
Como $\text{TVM}([-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}]) \succ 0$, la función es creciente alrededor de $x=-\dfrac{1}{2}$
$\square$
lunes, 8 de mayo de 2017
Introducción a las demostraciones matemáticas. Ejemplo: La operación composición de funciones no conmuta
ENUNCIADO. Demuéstrese que la operación composición de funciones no es conmutativa
SOLUCIÓN. Basta encontrar un contraejemplo. Supongamos que la composición de funciones sea conmutativa. Consideremos ahora dos funciones, pongamos que, $f(x):=2\,x+1$ y $g(x):=x+3$. Entonces, para todo $x$ de $D_f$ ( dominio de definición de $f$ ) y de $D_g$ ( dominio de definición de $g$ ) se cumple que $$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x+3)=2\,(x+3)+1=2\,x+6+1=2\,x+7$$ y, sin embargo, $$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(2\,x+1)=2\,(x+1)+3=2\,x+3+2=2\,x+5 \neq (f \circ g)(x)$$ que contradice la hipótesis de partida, luego se desprende de ello que, en general ( para todo par de funciones ) no se cumple la propiedad conmutativa, ya que, debido a la contradicción a la que hemos llegado, nos vemos obligados a negar la hipótesis de partida. $\square$
SOLUCIÓN. Basta encontrar un contraejemplo. Supongamos que la composición de funciones sea conmutativa. Consideremos ahora dos funciones, pongamos que, $f(x):=2\,x+1$ y $g(x):=x+3$. Entonces, para todo $x$ de $D_f$ ( dominio de definición de $f$ ) y de $D_g$ ( dominio de definición de $g$ ) se cumple que $$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x+3)=2\,(x+3)+1=2\,x+6+1=2\,x+7$$ y, sin embargo, $$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(2\,x+1)=2\,(x+1)+3=2\,x+3+2=2\,x+5 \neq (f \circ g)(x)$$ que contradice la hipótesis de partida, luego se desprende de ello que, en general ( para todo par de funciones ) no se cumple la propiedad conmutativa, ya que, debido a la contradicción a la que hemos llegado, nos vemos obligados a negar la hipótesis de partida. $\square$
Acerca de la función recíproca de una función dada: no siempre existe
ENUNCIADA. Demuéstrese que la función $f(x)=x^4$ no tiene función recíproca.
SOLUCIÓN. Una función $f$, definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, tiene asociada una ( y sólo una ) función recíproca $f^{-1}$ si y sólo si $f$ es biyectiva. Y, para que una función sea biyectiva, ha de ser sobreyectiva e inyectiva. Vamos a probar que la función pedida no es inyectiva; para ello basta encontrar dos valores de su dominio de definición, $x_1$ y $x_2$, distintos, y tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Y, en efecto, para $x_1=-2$ y $x_2=2$, vemos que $f(-2)=f(x_2)=5$, luego $f$ no es inyectiva, luego no es biyectiva, luego no tiene función recíproca. $\square$
SOLUCIÓN. Una función $f$, definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, tiene asociada una ( y sólo una ) función recíproca $f^{-1}$ si y sólo si $f$ es biyectiva. Y, para que una función sea biyectiva, ha de ser sobreyectiva e inyectiva. Vamos a probar que la función pedida no es inyectiva; para ello basta encontrar dos valores de su dominio de definición, $x_1$ y $x_2$, distintos, y tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Y, en efecto, para $x_1=-2$ y $x_2=2$, vemos que $f(-2)=f(x_2)=5$, luego $f$ no es inyectiva, luego no es biyectiva, luego no tiene función recíproca. $\square$
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