Introducción a las demostraciones matemáticas. Ejemplo: La operación composición de funciones no conmuta

ENUNCIADO. Demuéstrese que la operación composición de funciones no es conmutativa

SOLUCIÓN. Basta encontrar un contraejemplo. Supongamos que la composición de funciones sea conmutativa. Consideremos ahora dos funciones, pongamos que, $f(x):=2\,x+1$ y $g(x):=x+3$. Entonces, para todo $x$ de $D_f$ ( dominio de definición de $f$ ) y de $D_g$ ( dominio de definición de $g$ ) se cumple que $$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x+3)=2\,(x+3)+1=2\,x+6+1=2\,x+7$$ y, sin embargo, $$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(2\,x+1)=2\,(x+1)+3=2\,x+3+2=2\,x+5 \neq (f \circ g)(x)$$ que contradice la hipótesis de partida, luego se desprende de ello que, en general ( para todo par de funciones ) no se cumple la propiedad conmutativa, ya que, debido a la contradicción a la que hemos llegado, nos vemos obligados a negar la hipótesis de partida. $\square$