Un ejercicio sobre las nociones de función de oferta y función de demanda. Equilibrio del mercado.

ENUNCIADO. En un mercado, las funciones de oferta y de demanda ( cuyos valores se miden en miles de unidades ) de un determinado producto, en función del precio $x$ ( medido en euros ) son $f(x)=\dfrac{1}{4}\,x^2$ y $g(x)=-\dfrac{1}{2}\,x^2+3$, respectivamente. Se pide:

a) Dibujar las gráficas de dichas funciones en un mismo diagrama

b) Decir cuáles son los dominios de definición de sendas funciones, teniendo en cuenta su significado

c) Calcular las coordenadas del punto de intersección de dichas gráficas.
Nota: Este punto representa un cierto equilibrio del mercado.

SOLUCIÓN.

a)
Representado las dos parábolas en un mismo diagrama cartesiando,

b)
Teniendo en cuenta que no tiene sentido que el valor de función de $g$ sea negativo, $\text{Dom}\,g=[0,r]\subset \mathbb{R}$, donde $r$ es la raíz positiva de dicha función, que obtenemos de igualar a cero el valor de función $$0=-\dfrac{1}{2}\,x^2+3 \Leftrightarrow x=\left|\sqrt{6}\right|$$ luego $$\text{Dom}\,g=[0,\left|\sqrt{6}\right|]\subset \mathbb{R}$$

Por otra parte es claro que
$$\text{Dom}\,f = [0,+\infty)\subset \mathbb{R}$$

c)
Obtenemos la abscisa del punto de intersección, $E$, de las dos parábolas igualando los valores de función $$\dfrac{1}{4}\,x^2=-\dfrac{1}{2}\,x^2+3$$ y por tanto $$x^2=-2\,x^2+12$$ luego $x^2=4$ con lo cual $x_{E}=\left|\sqrt{4}\right|=2\, \text{euros}$. Así, pues, la ordenada de dicho punto, $y_E$, es igual a $f(x_E)=f(2)=\dfrac{1}{4}\cdot 2^2=1\,\text{millar de unidades}$

$\square$