Función recíproca asociada a una función biyectiva

ENUNCIADO. Dada la función biyectiva $f(x)=2^{x+1}$, calcular la función recíproca $f^{-1}(x)$ y representar $f(x)$ y $f^{-1}(x)$ en un mismo diagrama cartesiano.

SOLUCIÓN. Escribiendo la función dada (por comodidad) de la forma $y=2^{x+1}$, y sacando logaritmos ( nos proponemos despejar la variable $x$ ), obtenemos $$\ln\,y=\ln\,2^{x+1}$$ y por las propiedades de los logaritmos, $$\ln\,y=(x+1)\cdot \ln\,2$$ y por tanto $$x=\dfrac{\ln\,y}{\ln\,2}-1$$ que nos da la estructura de la función recíproca $f^{-1}$ asociada a la función $f$; esto es, $$f^{-1}(x)=\dfrac{\ln\,x}{\ln\,2}-1$$

A continuación se muestra las gráficas de las funciones $f(x)$, $f^{-1}(x)$ y de la función identidad $\text{Id}(x)$ en un mismo diagrama. Es importante recordar que la gráfica de la función identidad ( recta bisectriz del los cuadrantes primero y tercero, pues $\text{Id}(x)=x$ es lo mismo que decir $y=x$ ) hace el papel de recta de simetría ( por reflexión ) de las gráficas de las funciones directa y recíproca.

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