Ejercicio 2 de la semana del 13 de abril al 19 de abril de 2020 - Aproximación a la descripción del crecimiento y decrecimiento de una función

ENUNCIADO. Se considera la función cuadrática $f(x)=x^2$. Se pide:

a) Representa la gráfica de la función

b) Dibuja la recta secante, $r$, a la gráfica de $f(x)$ que pasa por los puntos $A$ y $B$, de abscisas $x_{A}=2$ y $x_{B}=3$. Calcula la pendiente de dicha recta $r$.

c) Dibuja ahora la recta secante, $s$, a la gráfica de $f(x)$ que pasa por los puntos $C$ y $D$, de abscisas $x_{C}=-2$ y $x_{B}=-3$. Calcula la pendiente de dicha recta $s$.

d) ¿ Cómo se comporta la función $f(x)$ para valores de $x$ comprendidos entre $-3$ y $-2$ ? ¿ Qué relación observas que pueda tener eso con el signo de la pendiente de la recta $s$ ?

e) ¿ Cómo se comporta la función $f(x)$ para valores de $x$ comprendidos entre $2$ y $3$ ? ¿ Qué relación observas que pueda tener eso con el signo de la pendiente de la recta $r$ ?

f) Describe el intervalo de los valores de $x$ en que la función crece y el intervalo de los valores de $x$ en que la función decrece

g) ¿ Hay algún valor de $x$ para el que la función no crezca ni decrezca ? En caso afirmativo, ¿ cuál es ese valor ?

NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

NOTA. Pido disculpas por si al final del vídeo he dicho alguna cosa con respecto al ritmo de crecimiento/decrecimiento justo al revés de lo que quería decir, pero como lo he repetido otra vez al final correctamente, creo que habrá quedado claro.

Calculando la tasa de variación media de una función en diversos intervalos. Información que se desprende de sus valores.

ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=-x^2+3$. Se pide:
a) La tasa de variación media TVM de la función en los intervalos $[\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$ y $[-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}]$
b) Con los resultados del apartado anterior, ¿ qué información se obtiene sobre el comportamiento de la función para valores próximos a $\dfrac{1}{3}$ y $-\dfrac{1}{2}$, respectivamente ?

SOLUCIÓN.
a) Recordemos que $\text{TVM}([a,b])\overset{\text{def}}{=}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Entonces, $$\text{TVM}([\frac{1}{3},\frac{1}{2}])=\dfrac{f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{3})}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\dfrac{(-(\frac{1}{2})^2+3)-(-(\frac{1}{3})^2+3)}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=-\dfrac{5}{6} \prec 0$$

$$\text{TVM}([-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}])=\dfrac{f(-\frac{1}{3})-(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})}=\dfrac{(-(-\frac{1}{3})^2+3)-(-(-\frac{1}{2})^2+3)}{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})} = \dfrac{5}{6} \succ 0$$

b)
Como $\text{TVM}([\frac{1}{3},\frac{1}{2}]) \prec 0$, la función es decreciente alrededor de $x=\dfrac{1}{3}$
Como $\text{TVM}([-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}]) \succ 0$, la función es creciente alrededor de $x=-\dfrac{1}{2}$

$\square$