Número de diagonales de un polígono convexo

ENUNCIADO. ¿ Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono convexo de $n$ vértices ?

SOLUCIÓN. Una diagonal de un polígono convexo es todo segmento cuyos extremos sean dos vértices no consecutivos. Así pues un triángulo no tiene ninguna diagonal, un cuadrilátero tiene dos, un pentágono tiene cinco, etcétera. Consideremos un polígono de un número arbitrario de vértices; para encontrar una función de $n$ cuyo valor sea el número de diagonales pedido, podemos razonar del siguiente modo.

Situémonos en un vértice cualquiera del polígono. Desde dicho vértice podemos enviar un segmento de recta a todos los demás vértices salvo a tres: al vértice consecutivo de la izquierda, al de la derecha, y el propio vértice donde nos situamos. De este modo podemos enlazar $n-3$ segmentos desde dicho vértice, pero como podemos situarnos en cualquiera de los $n$ vértices, por el principio multiplicativos contabilizamos $n\,(n-3)$. Ahora bien, así, dichos enlaces se cuentan por partida doble, ya que el recuento no distingue entre el extremo desde el cual trazamos los segmentos, luego habrá que corregir ésto dividiendo entre $2$. En consecuencia, el número de diagonales $f(n)$ es igual a $$f(n)=\dfrac{n\,(n-3)}{2}=\dfrac{n^2-3\,n}{2}$$

Otra forma de llegar al mismo resultado consiste en ( primero ) hacer el recuento del número de segmentos que podemos trazar considerando $n$ vértices tomados de dos en dos, reconociendo que no importa el orden en que lo hagamos, y que es igual a $\binom{n}{2}$. Y, a continuación, descartar los $n$ lados del polígono de entre este conjunto de segmentos. Con lo cual llegamos a $$f(n)=\binom{n}{2}-n=\dfrac{n^2-3\,n}{2}$$

$\square$