Acerca de la función recíproca de una función dada: no siempre existe

ENUNCIADA. Demuéstrese que la función $f(x)=x^4$ no tiene función recíproca.

SOLUCIÓN. Una función $f$, definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, tiene asociada una ( y sólo una ) función recíproca $f^{-1}$ si y sólo si $f$ es biyectiva. Y, para que una función sea biyectiva, ha de ser sobreyectiva e inyectiva. Vamos a probar que la función pedida no es inyectiva; para ello basta encontrar dos valores de su dominio de definición, $x_1$ y $x_2$, distintos, y tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Y, en efecto, para $x_1=-2$ y $x_2=2$, vemos que $f(-2)=f(x_2)=5$, luego $f$ no es inyectiva, luego no es biyectiva, luego no tiene función recíproca. $\square$