SOLUCIÓN. Calculando los valores sucesivos de los términos de la sucesión para valores cada vez más grandes de n, vemos que éstos se aproximan cada vez más a 1,3333\ldots, esto es, a \dfrac{4}{3}. Si ocurre algo así decimos que la sucesión está acotada y, además, en este caso, que es convergente a \dfrac{4}{3}. Este valor parece ser el llamado límite de la sucesión convergente. Si el límite existe es único.
Procedamos ahora a realizar el llamado cálculo del límite. Si sustituimos n por \infty en f(n)=\dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2} -- a lo que denominamos paso al límite -- nos encontramos con \dfrac{\infty}{\infty}, que es una indeterminación. Debemos resolverla; para ello, haremos ahora un poco de álgebra: dividiendo el numerador y el denominador de la expresión de la sucesión por la potencia de n con mayor exponente que encontramos en ella, esto es, por n^2, obtenemos:
\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}
=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{3\,\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2}{n^2}}
=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{3-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}
Volviendo ahora a pasar al límite obtenemos \dfrac{4+\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}}{3-\frac{1}{\infty}+\frac{2}{\infty}}=\dfrac{4+0-0}{3-0+0}=\dfrac{4}{3}
\square
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