Calculando la tasa de variación media de una función en diversos intervalos. Información que se desprende de sus valores.

ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=-x^2+3$. Se pide:
a) La tasa de variación media TVM de la función en los intervalos $[\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$ y $[-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}]$
b) Con los resultados del apartado anterior, ¿ qué información se obtiene sobre el comportamiento de la función para valores próximos a $\dfrac{1}{3}$ y $-\dfrac{1}{2}$, respectivamente ?

SOLUCIÓN.
a) Recordemos que $\text{TVM}([a,b])\overset{\text{def}}{=}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Entonces, $$\text{TVM}([\frac{1}{3},\frac{1}{2}])=\dfrac{f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{3})}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\dfrac{(-(\frac{1}{2})^2+3)-(-(\frac{1}{3})^2+3)}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=-\dfrac{5}{6} \prec 0$$

$$\text{TVM}([-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}])=\dfrac{f(-\frac{1}{3})-(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})}=\dfrac{(-(-\frac{1}{3})^2+3)-(-(-\frac{1}{2})^2+3)}{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})} = \dfrac{5}{6} \succ 0$$

b)
Como $\text{TVM}([\frac{1}{3},\frac{1}{2}]) \prec 0$, la función es decreciente alrededor de $x=\dfrac{1}{3}$
Como $\text{TVM}([-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}]) \succ 0$, la función es creciente alrededor de $x=-\dfrac{1}{2}$

$\square$