Límite de una sucesión convergente

ENUNCIADO. Explíquese qué representa el límite de una sucesión convergente. Calcular el límite de la sucesión convergente $f(n)=\dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$ cuando $n$ tiende a $\infty$. Esto es, calcúlese $$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$$

SOLUCIÓN. Calculando los valores sucesivos de los términos de la sucesión para valores cada vez más grandes de $n$, vemos que éstos se aproximan cada vez más a $1,3333\ldots$, esto es, a $\dfrac{4}{3}$. Si ocurre algo así decimos que la sucesión está acotada y, además, en este caso, que es convergente a $\dfrac{4}{3}$. Este valor parece ser el llamado límite de la sucesión convergente. Si el límite existe es único.

Procedamos ahora a realizar el llamado cálculo del límite. Si sustituimos $n$ por $\infty$ en $f(n)=\dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$ -- a lo que denominamos paso al límite -- nos encontramos con $\dfrac{\infty}{\infty}$, que es una indeterminación. Debemos resolverla; para ello, haremos ahora un poco de álgebra: dividiendo el numerador y el denominador de la expresión de la sucesión por la potencia de $n$ con mayor exponente que encontramos en ella, esto es, por $n^2$, obtenemos:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$

  $=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{3\,\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2}{n^2}}$

    $=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{3-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$

Volviendo ahora a pasar al límite obtenemos $$\dfrac{4+\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}}{3-\frac{1}{\infty}+\frac{2}{\infty}}=\dfrac{4+0-0}{3-0+0}=\dfrac{4}{3}$$

$\square$