Dominio de definición y recorrido ( conjunto imagen ) de una función

ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\ln\,(x+1)$

SOLUCIÓN. La función logaritmo sólo está definida para números positivos, luego $\text{Dom}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. Veamos ahora cuál es el conjunto imagen de dicha función. Como se trata de una función biyectiva, tiene asociada una función recíproca $f^{-1}$( que es única ), y, por tanto deberá cumplirse que $\text{Dom}\,f^{-1}=\text{Im}\,f$. Calcularemos pues la función recíproca y su dominio de definición. Por la propiedad fundamental de los logaritmos podemos escribir $$x+1=e^y$$ luego $$x=e^y-1$$ Y, así, la estructura de la función recíproca es $f^{-1}(x)=e^x-1$ cuyo dominio de definición es $\mathbb{R}$, luego por la propiedad reseñada arriba concluimos que $\text{Im}\,f=\mathbb{R}$
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