lunes, 19 de noviembre de 2018
miércoles, 14 de noviembre de 2018
martes, 16 de octubre de 2018
domingo, 14 de octubre de 2018
jueves, 11 de octubre de 2018
domingo, 30 de septiembre de 2018
viernes, 15 de junio de 2018
Resolución de problemas de aritmética mediante el álgebra
ENUNCIADO. Un comerciante compra manzanas de dos tipos, $A$ y $B$. Por las manzanas de tipo $A$ ha pagado $2$ euros por kilogramo; y, por las de tipo $B$, $3$ euros por kilogramo. El comerciante prepara bolsas que contienen $10$ kilogramos de manzanas, que quiere vender en su tienda a $25$ euros cada una, con lo que espera obtener un beneficio de $1$ euro por cada bolsa vendida. En cada una de las bolsas hay una mezcla de manzanas de los dos tipos: $3$ kilogramos de manzanas de tipo $A$ y $2$ kilogramos de manzanas de tipo $B$. ¿ Cuántos kilogramos de manzanas de cada tipo tiene que poner en cada bolsa ?.
SOLUCIÓN.
El coste que supone para el comerciante la compra de las manzanas que ha de poner en cada bolsa, para su posterior venta en su tienda, es de $25-1=24$ euros. Denotando por $a$ el contenido ( en kilogramos ) de manzanas de tipo $A$, y, por $b$ la cantidad de manzanas ( en kilogramos ) de tipo $B$ que hay en cada bolsa, podemos escribir las siguientes ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}a+b=10 \\ 3a+2b=24\end{matrix}\right.$$ Despejando la incógnita $b$ de la primera ecuación, obtenemos $b=10-a$; sustituyendo ahora esta expresión en la segunda ecuación llegamos a $$3a+(10-a)=24$$ esto es $$2a=14$$ y despejando $a$ encontramos que en cada bolsa tiene que haber: $a=7$ kilogramos de manzanas de tipos $A$ y $b=10-7=3$ kilogramos de manzanas de tipo $B$. $\square$
SOLUCIÓN.
El coste que supone para el comerciante la compra de las manzanas que ha de poner en cada bolsa, para su posterior venta en su tienda, es de $25-1=24$ euros. Denotando por $a$ el contenido ( en kilogramos ) de manzanas de tipo $A$, y, por $b$ la cantidad de manzanas ( en kilogramos ) de tipo $B$ que hay en cada bolsa, podemos escribir las siguientes ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}a+b=10 \\ 3a+2b=24\end{matrix}\right.$$ Despejando la incógnita $b$ de la primera ecuación, obtenemos $b=10-a$; sustituyendo ahora esta expresión en la segunda ecuación llegamos a $$3a+(10-a)=24$$ esto es $$2a=14$$ y despejando $a$ encontramos que en cada bolsa tiene que haber: $a=7$ kilogramos de manzanas de tipos $A$ y $b=10-7=3$ kilogramos de manzanas de tipo $B$. $\square$
viernes, 8 de junio de 2018
Estimación de las cotas de error absoluto de los resultados de los productos y sumas, con datos afectados de error
ENUNCIADO. Se consideran las siguientes cantidades $a=4\pm 0,5$, donde $\Delta_a=0,5$, es una cota de error absoluto ( esto es, la máxima incertidumbre de $a$ ); y, $b=22\pm 1$, donde $\Delta_b=1$ es la correspondiente cota de error absoluto ( máxima incertidumbre de $b$ ). Calcúlese el máximo error absoluto de $a\cdot b$ y el máximo error absoluto de $a+b$, así como los intervalos de incertidumbre de $a+b$ y de $a\cdot b$, respectivamente
SOLUCIÓN. Sabemos, por lo explicado en clase, que en el caso de las sumas $\Delta_{a+b}=\Delta_a+\Delta_b$; y, en el caso de un producto, $\varepsilon_{a\cdot b}=\varepsilon_a+\varepsilon_b$, de lo cual se desprende -- por la definición de error relativo, $e \overset{\text{def}}{=} \dfrac{E}{|x|} \Rightarrow E=e\cdot |x| \Rightarrow \Delta_x = \varepsilon_x \cdot x$ --, que $$\Delta_{a \cdot b}=(a\cdot b)\cdot \varepsilon_{a\cdot b}$$
Entonces, $a+b=26$; $\Delta_{a+b}=\Delta_a+\Delta_b=0,5+1 \overset{\text{por exceso}}{\approx} 2$; y, por otra parte, $a\cdot b=88$, con $\varepsilon_{a\cdot b}=\varepsilon_a+\varepsilon_b=\dfrac{0,5}{4}+\dfrac{1}{22}\overset{\text{por exceso}}{\approx}0,18 \Rightarrow \Delta_{a\cdot b}=0,18\cdot 88 \overset{\text{por exceso}}{\approx} 16$
Y, en consecuencia, $$a + b=26\pm 2 \Rightarrow I_{a+b}=(26-2\,,\,26+2)$$ y $$a\cdot b=88 \pm 16 \Rightarrow I_{a\cdot b}=(88-16\,,\,88+16)$$ esto es $$I_{a+b}=(24\,,\,28)$$ y $$I_{a\cdot b}=(72\,,\,104)$$
$\square$
SOLUCIÓN. Sabemos, por lo explicado en clase, que en el caso de las sumas $\Delta_{a+b}=\Delta_a+\Delta_b$; y, en el caso de un producto, $\varepsilon_{a\cdot b}=\varepsilon_a+\varepsilon_b$, de lo cual se desprende -- por la definición de error relativo, $e \overset{\text{def}}{=} \dfrac{E}{|x|} \Rightarrow E=e\cdot |x| \Rightarrow \Delta_x = \varepsilon_x \cdot x$ --, que $$\Delta_{a \cdot b}=(a\cdot b)\cdot \varepsilon_{a\cdot b}$$
Entonces, $a+b=26$; $\Delta_{a+b}=\Delta_a+\Delta_b=0,5+1 \overset{\text{por exceso}}{\approx} 2$; y, por otra parte, $a\cdot b=88$, con $\varepsilon_{a\cdot b}=\varepsilon_a+\varepsilon_b=\dfrac{0,5}{4}+\dfrac{1}{22}\overset{\text{por exceso}}{\approx}0,18 \Rightarrow \Delta_{a\cdot b}=0,18\cdot 88 \overset{\text{por exceso}}{\approx} 16$
Y, en consecuencia, $$a + b=26\pm 2 \Rightarrow I_{a+b}=(26-2\,,\,26+2)$$ y $$a\cdot b=88 \pm 16 \Rightarrow I_{a\cdot b}=(88-16\,,\,88+16)$$ esto es $$I_{a+b}=(24\,,\,28)$$ y $$I_{a\cdot b}=(72\,,\,104)$$
$\square$
Adecuación del número de cifras signifcativas de los resultados de cálculos con multiplicaciones/divisiones o sumas/restas cuando los datos están afectados de imprecisiones
ENUNCIADO. Las siguientes cantidades están afectadas de error, y, por ello hay que tener en consideración el número de cifras significativas que se especifican: $\bar{a}=4300$ ( 2 c.s. ) y $\bar{b}=124,45$ ( 5 c.s. ). Obténganse los resultados de los siguientes cálculo, con el número de cifras significativas que les corresponda:
a) $a\cdot b$
b) $a/b$
c) $a+b$
d) $a-b$
SOLUCIÓN.
a) En las multiplicaciones y en las divisiones, el número de cifras significativas del resultado que debemos dar no puede ser mayor que el número de cifras significativas del dato que tiene un número menor de cifras significativas. Al multiplicar $\bar{a}$ por $\bar{b}$ obtenemos $535\,135$, sin embargo el resultado que demos no puede tener más de $2$ c.s. ( que es el número de cifras significativas de $\bar{a}$ ), en consecuencia escribiremos ( aproximando a la cifra de las centenas de millar ) $$\bar{a} \cdot \bar{b} \approx 540\,000 \; ( 2\,\text{c.s.})$$
b) Por lo que se acaba de explicar, en las divisiones ocurre lo mismo; al dividir, $\bar{a}/\bar{b}$, obtenemos la siguiente cantidad, $34,55202893$, pero al tener que limitar el número de cifras significativas a $2$, el resultado que tendremos que dar ( aproximando, por tanto, por redondeo hasta la cifra de las unidades ) es $$\bar{a} / \bar{b} \approx 35 \; ( 2\,\text{c.s.})$$
c) En las sumas y restas, nos fijaremos en el número de cifras significativas de la parte decimal, a la hora de limitar el número de las cifras significativas que obtenemos, tal cual, del cálculo; el número de cifras decimales significativas ( c.d.s. ) del resultado que debemos dar no puede ser mayor que el número de cifras decimales significativas del dato que tiene un número menor de cifras decimales significativas. Al sumar $a$ ( $0$ c.d.s.) y $b$ ( $2$ c.d.s.) obtenemos $4\,424,45$, sin embargo el resultado que demos no puede tener más de $0$ c.d.s. ( que es el menor número de cifras decimales significativas que encontramos en los dos sumandos, esto es, de $a$ ), en consecuencia, y aproximando por redondeo a las unidades, escribiremos $$\bar{a} + \bar{b} \approx 4\,424\; ( 0\,\text{c.d.s.})$$
d) Como con las restas ocuurre lo mismo que con las sumas, al restar, tal cual, $a-b$ obtenemos $4\,175,55$, pero debemos limitar el número de cifras decimales significativas de este resultado -- de la misma manera que hemos explicado en el apartado anterior --, así ( aproximando por redondeo a las unidades ) que $$\bar{a} - \bar{b} \approx 4\,176\; ( 0\,\text{c.d.s.})$$
$\square$
a) $a\cdot b$
b) $a/b$
c) $a+b$
d) $a-b$
SOLUCIÓN.
a) En las multiplicaciones y en las divisiones, el número de cifras significativas del resultado que debemos dar no puede ser mayor que el número de cifras significativas del dato que tiene un número menor de cifras significativas. Al multiplicar $\bar{a}$ por $\bar{b}$ obtenemos $535\,135$, sin embargo el resultado que demos no puede tener más de $2$ c.s. ( que es el número de cifras significativas de $\bar{a}$ ), en consecuencia escribiremos ( aproximando a la cifra de las centenas de millar ) $$\bar{a} \cdot \bar{b} \approx 540\,000 \; ( 2\,\text{c.s.})$$
b) Por lo que se acaba de explicar, en las divisiones ocurre lo mismo; al dividir, $\bar{a}/\bar{b}$, obtenemos la siguiente cantidad, $34,55202893$, pero al tener que limitar el número de cifras significativas a $2$, el resultado que tendremos que dar ( aproximando, por tanto, por redondeo hasta la cifra de las unidades ) es $$\bar{a} / \bar{b} \approx 35 \; ( 2\,\text{c.s.})$$
c) En las sumas y restas, nos fijaremos en el número de cifras significativas de la parte decimal, a la hora de limitar el número de las cifras significativas que obtenemos, tal cual, del cálculo; el número de cifras decimales significativas ( c.d.s. ) del resultado que debemos dar no puede ser mayor que el número de cifras decimales significativas del dato que tiene un número menor de cifras decimales significativas. Al sumar $a$ ( $0$ c.d.s.) y $b$ ( $2$ c.d.s.) obtenemos $4\,424,45$, sin embargo el resultado que demos no puede tener más de $0$ c.d.s. ( que es el menor número de cifras decimales significativas que encontramos en los dos sumandos, esto es, de $a$ ), en consecuencia, y aproximando por redondeo a las unidades, escribiremos $$\bar{a} + \bar{b} \approx 4\,424\; ( 0\,\text{c.d.s.})$$
d) Como con las restas ocuurre lo mismo que con las sumas, al restar, tal cual, $a-b$ obtenemos $4\,175,55$, pero debemos limitar el número de cifras decimales significativas de este resultado -- de la misma manera que hemos explicado en el apartado anterior --, así ( aproximando por redondeo a las unidades ) que $$\bar{a} - \bar{b} \approx 4\,176\; ( 0\,\text{c.d.s.})$$
$\square$
Estimación de una cota de error relativo
ENUNCIADO. Mediante un metro de carpintero, se han tomado las medidas de los lados desiguales de una tabla rectangular, $a$ y $b$, obteniendo $\bar{a}=81\,\text{cm}$ y $\bar{b}=26\,\text{cm}$, respectivamente. Asígnese, de manera razonada, una cota de error absoluto para cada una de las dos medidas, y, a continuación, estímense las respectivas cotas de error relativo. ¿ Cuál de las dos medidas es la que tiene más precisión ?
SOLUCIÓN. Las divisiones más pequeñas del instrumento de medida ( metro de carpintero ) son los milímetros, por tanto las cotas de error absoluto son $\Delta_a = \Delta_b = 0,1\,\text{cm}$
A partir de estas cotas de error absoluto, veamos ahora unas cotas de error relativo; para ello, debemos recordar ( de lo explicado en clase, que al desconocer el valor exacto de una cantidad -- y por tanto, también el error absoluto de la misma --, podemos realizar la siguiente estimación para la cota de error relativo $$\varepsilon_x \overset{\text{def}}{\sim} \dfrac{\Delta_x}{\bar{x}-\Delta_x}$$
Entonces, $$\varepsilon_a \sim \dfrac{\Delta_a}{\bar{a}-\Delta_a}$$ donde $\bar{a}=81\,\text{cm}$ luego $$\varepsilon_a = \dfrac{0,1}{81-0,1}\approx 0,002=2\,\%$$ y $$\varepsilon_b \sim \dfrac{\Delta_b}{\bar{b}-\Delta_b}$$ donde $\bar{b}=26\,\text{cm}$ luego $$\varepsilon_b = \dfrac{0,1}{26-0,1}\approx 0,004=4\,\%$$
En consecuencia, teniendo en cuenta que el error relativo de la medida de $a$ es menor que el error relativo de la medida de $b$, concluimos que hay más precisión en la medida de $a$.
$\square$
SOLUCIÓN. Las divisiones más pequeñas del instrumento de medida ( metro de carpintero ) son los milímetros, por tanto las cotas de error absoluto son $\Delta_a = \Delta_b = 0,1\,\text{cm}$
A partir de estas cotas de error absoluto, veamos ahora unas cotas de error relativo; para ello, debemos recordar ( de lo explicado en clase, que al desconocer el valor exacto de una cantidad -- y por tanto, también el error absoluto de la misma --, podemos realizar la siguiente estimación para la cota de error relativo $$\varepsilon_x \overset{\text{def}}{\sim} \dfrac{\Delta_x}{\bar{x}-\Delta_x}$$
Entonces, $$\varepsilon_a \sim \dfrac{\Delta_a}{\bar{a}-\Delta_a}$$ donde $\bar{a}=81\,\text{cm}$ luego $$\varepsilon_a = \dfrac{0,1}{81-0,1}\approx 0,002=2\,\%$$ y $$\varepsilon_b \sim \dfrac{\Delta_b}{\bar{b}-\Delta_b}$$ donde $\bar{b}=26\,\text{cm}$ luego $$\varepsilon_b = \dfrac{0,1}{26-0,1}\approx 0,004=4\,\%$$
En consecuencia, teniendo en cuenta que el error relativo de la medida de $a$ es menor que el error relativo de la medida de $b$, concluimos que hay más precisión en la medida de $a$.
$\square$
viernes, 1 de junio de 2018
Un ejercicio de estadística básica para calcular algunos parámetros estadísticos, empleando las utilidades de la calculadora científica básica
ENUNCIADO.
SOLUCIÓN. Empleando las utilidades estadísticas de la calculadora científica básica ( pongamos que una Casio fx 82 MS ), lo primero que tenemos que hacer es seleccionar el modo de cálculo estadístico en una variable: MODE 1
A continuación, hay que entrar la marca de clase de cada intervalo ( el punto medio de cada intervalo ) y la frecuencia que le corresponda y que figura en la tabla, esto es:
20;4 M+
30;12 M+
40;19 M+
50;8 M+
60;3 M+
Finalmente, basta con consultar el valor de los parámetros pedidos en la calculadora, mediante:
S-VAR
(1) -> $\bar{x}=46$
(2) -> $s \approx 10,1$
Nota:
Recordemos la definición de los parámetros estadísticos pedidos:
$$\displaystyle \bar{x}\overset{\text{def}}{=} \displaystyle \dfrac{\sum_{i=1}^{5}\,x_i\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}$$
$$\displaystyle s\overset{\text{def}}{=} \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{5}(\,x_{i}-\bar{x})^2\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}}=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{5}\,x_{i}{^2}\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}-\bar{x}^2}$$
donde el número total de valores es $$N=\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,n_i$$ representando $x_i$ las respectivas marcas de clase.
$\square$
SOLUCIÓN. Empleando las utilidades estadísticas de la calculadora científica básica ( pongamos que una Casio fx 82 MS ), lo primero que tenemos que hacer es seleccionar el modo de cálculo estadístico en una variable: MODE 1
A continuación, hay que entrar la marca de clase de cada intervalo ( el punto medio de cada intervalo ) y la frecuencia que le corresponda y que figura en la tabla, esto es:
------------------------------------
------------------------------------
marca de clase | frecuencia absoluta
------------------------------------
20 | 4
------------------------------------
30 | 12
------------------------------------
40 | 19
------------------------------------
50 | 8
------------------------------------
60 | 3
------------------------------------
20;4 M+
30;12 M+
40;19 M+
50;8 M+
60;3 M+
Finalmente, basta con consultar el valor de los parámetros pedidos en la calculadora, mediante:
S-VAR
(1) -> $\bar{x}=46$
(2) -> $s \approx 10,1$
Nota:
Recordemos la definición de los parámetros estadísticos pedidos:
$$\displaystyle \bar{x}\overset{\text{def}}{=} \displaystyle \dfrac{\sum_{i=1}^{5}\,x_i\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}$$
$$\displaystyle s\overset{\text{def}}{=} \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{5}(\,x_{i}-\bar{x})^2\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}}=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{5}\,x_{i}{^2}\,n_i}{\sum_{i=1}^{5}\,n_i}-\bar{x}^2}$$
donde el número total de valores es $$N=\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,n_i$$ representando $x_i$ las respectivas marcas de clase.
$\square$
Otro ejercicio de probabilidad compuesta
ENUNCIADO. Una urna contiene 2 bolas amarillas, 6 bolas verdes y 7 bolas negras. Se extraen tres bolas de la urna, una tras otra, sin devolver las bolas que se van sacando de la urna. Calcúlese la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean del mismo color.
SOLUCIÓN. La urna contiene un total de $2+6+7=15$ bolas. La probabilidad pedida es igual a la probabilidad del suceso contrario ( la de haber entre las tres bolas extraídas al menos una que sea de un color distinto a las otras dos ); así pues, primero calcularemos la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, y, finalmente, restaremos esa probabilidad de la probabilidad total, esto es, de $1$.
Por la probabilidad compuesta, y teniendo en cuenta que el resultado de una extracción depende del resultado de la anterior ( extracciones dependientes ), la probabilidad de que las tres bolas sean amarillas es igual a $$\dfrac{2}{15}\cdot \dfrac{2-1}{15-1} \cdot \dfrac{2-2}{15-2}=0$$ Análogamente, la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean verdes es igual a $$\dfrac{6}{15}\cdot \dfrac{6-1}{15-1} \cdot \dfrac{6-2}{15-2}=\dfrac{4}{91}$$ y la probabilidad de que las tres bolas sean negras es $$\dfrac{7}{15}\cdot \dfrac{7-1}{15-1} \cdot \dfrac{7-2}{15-2}=\dfrac{1}{13}$$ Entonces, al no incompatibles los tres sucesos anteriores, la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color ( amarillas, verdes o bien negras ) es igual a $$0+\dfrac{4}{91}+\dfrac{1}{13}=\dfrac{11}{91}$$ Luego la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color es igual a $$1-\dfrac{11}{91}=\dfrac{80}{91}$$
$\square$
SOLUCIÓN. La urna contiene un total de $2+6+7=15$ bolas. La probabilidad pedida es igual a la probabilidad del suceso contrario ( la de haber entre las tres bolas extraídas al menos una que sea de un color distinto a las otras dos ); así pues, primero calcularemos la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, y, finalmente, restaremos esa probabilidad de la probabilidad total, esto es, de $1$.
Por la probabilidad compuesta, y teniendo en cuenta que el resultado de una extracción depende del resultado de la anterior ( extracciones dependientes ), la probabilidad de que las tres bolas sean amarillas es igual a $$\dfrac{2}{15}\cdot \dfrac{2-1}{15-1} \cdot \dfrac{2-2}{15-2}=0$$ Análogamente, la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean verdes es igual a $$\dfrac{6}{15}\cdot \dfrac{6-1}{15-1} \cdot \dfrac{6-2}{15-2}=\dfrac{4}{91}$$ y la probabilidad de que las tres bolas sean negras es $$\dfrac{7}{15}\cdot \dfrac{7-1}{15-1} \cdot \dfrac{7-2}{15-2}=\dfrac{1}{13}$$ Entonces, al no incompatibles los tres sucesos anteriores, la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color ( amarillas, verdes o bien negras ) es igual a $$0+\dfrac{4}{91}+\dfrac{1}{13}=\dfrac{11}{91}$$ Luego la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color es igual a $$1-\dfrac{11}{91}=\dfrac{80}{91}$$
$\square$
Un ejercicio de probabilidad compuesta
ENUNCIADO. Una urna contiene 3 bolas blancas, 4 bolas rojas y 5 bolas negras. Se extraen tres bolas de la urna, una tras otra, devolviendo las bolas que se van sacando a la urna antes de extraer la siguiente bola. Calcúlese la probabilidad de que las tres bolas extraídas no sean del mismo color.
SOLUCIÓN. La urna contiene un total de $3+4+5=12$ bolas. Por la probabilidad compuesta, y teniendo en cuenta que el resultado de una extracción no depende del resultado de la anterior ( extracciones independientes ), la probabilidad de que las tres bolas sean blancas es igual a $$\dfrac{3}{12}\cdot \dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{64}$$ Análogamente, la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean rojas es igual a $$\dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{27}$$ y la probabilidad de que las tres bolas sean negras es $$\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{5}{12}=\dfrac{125}{1728}$$ Entonces, al no incompatibles los tres sucesos anteriores, la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color ( blancas, rojas o negras ) es igual a $$\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{125}{1728}=\dfrac{1}{8}$$
$\square$
SOLUCIÓN. La urna contiene un total de $3+4+5=12$ bolas. Por la probabilidad compuesta, y teniendo en cuenta que el resultado de una extracción no depende del resultado de la anterior ( extracciones independientes ), la probabilidad de que las tres bolas sean blancas es igual a $$\dfrac{3}{12}\cdot \dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{64}$$ Análogamente, la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean rojas es igual a $$\dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{27}$$ y la probabilidad de que las tres bolas sean negras es $$\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{5}{12}=\dfrac{125}{1728}$$ Entonces, al no incompatibles los tres sucesos anteriores, la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color ( blancas, rojas o negras ) es igual a $$\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{27}+\dfrac{125}{1728}=\dfrac{1}{8}$$
$\square$
martes, 29 de mayo de 2018
Un recordatorio sobre la regresión lineal en un conjunto de parejas de valores de dos variables estadísticas
Dadas dos variables estadísticas $X$ e $Y$ y un conjunto de puntos en el plano con las medidas de ambas variables $(x_1,y_1;n_1)$, $(x_2,y_2;n_2)$,...,$(x_k,y_k;n_k)$, siendo $n_1,n_2,\ldots,n_k$ las frecuencias absolutas de cada una de dichas parejas, la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ en la forma punto-pendiente viene dada por $$y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(x-\bar{x})$$ y la recta de regresión lineal de $X$ sobre $Y$ tiene por ecuación ( en la forma punto-pendiente ) $$x-\bar{x}=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}\,(y-\bar{y})$$
donde
$$s_{x}^{2}=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{k}\,x_{i}^{2}\,n_i-\bar{x}^2$$ y
$$s_{y}^{2}= \displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{k}\,y_{i}^{2}\,n_i-\bar{y}^2$$ son las varianzas de $X$ e $Y$ ( siendo $N=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,n_i$ ); $x_{xy}=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{k}\,(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\,n_i$ es la covarianza de $X$ e $Y$; $\bar{x}=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{k}\,x_i\,n_i$, la media de $X$ e $\displaystyle \bar{y}=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{k}\,y_i\,n_i$, la media de $Y$
Por otra parte, el coeficiente de correlación de Pearson se define así $$-1 \le \dfrac{s_{xy}}{s_{x}\,s_{y}} \le 1$$ donde $s_x$ y $s_y$ son las desviaciones estándard de $X$ e $Y$
La fuerza del ajuste del ajuste de la recta de regresión lineal a los datos experimentales viene dada por el coeficiente de determinación, $R^2$, que se define de la forma $$0\le R^2\overset{\text{def}}{=}(r)^2\le 1$$
Observación:
Notemos que el punto de coordenadas $(\bar{x},\bar{y})$ satisface por igual una y otra recta de regresión, y, por tanto, éste es el punto de intersección de las mismas.
Nota: Las ecuaciones de las rectas de regresión lineal se deducen imponiendo un criterio de mínima distancia al cuadrado de cada uno de los puntos de la nube al punto sobre dicha recta que tiene la misma abscisa que el punto dado, pero ello se estudia en el Bachillerato. En este curso ( 4.º de ESO ), nos limitamos a aplicar estos resultados.
-oOo-
Calcular la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ con ayuda de una calculadora científica básica ( del tipo Casio fx82 MS ) es rápido y sencillo: primero hay poner la calculadora en el modo adecuado ( MODE REG(3) - > LIN(1) ), y a continuación hay que introducir los datos de la siguiente forma:
$x_1,y_1;n_1$ M+
$x_2,y_2;n_2$ M+
...
$x_k,y_k;n_k$ M+
Hecho ésto, basta con consultar los resultados:
S-VAR -> -> 1
A(1),B(2),r(3)
De manera que la recta pedida, en forma explícita, vendrá dada por $y=Bx+A$, pudiendo saber también el valor de $r$ ( el coeficiente de correlación de Pearson )
Ejemplo:
Seleccionando el modo de cálculo de regresión ( MODE 3 ) de la calculadora científica básica y, a continuación, el ajustes lineal ( 1), e introduciendo los puntos $(x,y)$:
1,0;1 M+
3,2;1 M+
4,4;1 M+
5,4;1 M+
5,6;1 M+
ya podemos pasar a consultar el valor de los coeficientes $A$ y $B$ de la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, así como el coeficiente de correlación de Pearson $r$: ( S-VAR -> -> 1,2,3 ), obteniendo los siguientes valores (aproximando a las diezmilésimas):
$$A=-1,4286$$ $$B=1,2857$$ y $$r=0,9435$$ Así pues, la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ es $$y=1,2857\,x-1,4286$$
Nota: El coeficiente de determinación $R^2$, que se suele expresar en tanto por ciento, es aquí, del $89\,\%$
Por otra parte, el valor estimado de $y$ ( que denotaremos por $\hat{y}$ ) para $x=2$, se calcula haciendo uso del modelo de ajuste por regresión, sustituyendo $x$ por el valor $2$ $$1,2857\cdot 2-1,4286=1,1429$$ y puede calcularse también con la calculadora, directamente, tecleando S-VAR -> -> -> 2 obteniendo $$\hat{y}=1,1429$$
El siguiente gráfico muestra la nube de puntos y la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ pedida
$\square$
donde
$$s_{x}^{2}=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{k}\,x_{i}^{2}\,n_i-\bar{x}^2$$ y
$$s_{y}^{2}= \displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{k}\,y_{i}^{2}\,n_i-\bar{y}^2$$ son las varianzas de $X$ e $Y$ ( siendo $N=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\,n_i$ ); $x_{xy}=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{k}\,(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\,n_i$ es la covarianza de $X$ e $Y$; $\bar{x}=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{k}\,x_i\,n_i$, la media de $X$ e $\displaystyle \bar{y}=\dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{k}\,y_i\,n_i$, la media de $Y$
Por otra parte, el coeficiente de correlación de Pearson se define así $$-1 \le \dfrac{s_{xy}}{s_{x}\,s_{y}} \le 1$$ donde $s_x$ y $s_y$ son las desviaciones estándard de $X$ e $Y$
La fuerza del ajuste del ajuste de la recta de regresión lineal a los datos experimentales viene dada por el coeficiente de determinación, $R^2$, que se define de la forma $$0\le R^2\overset{\text{def}}{=}(r)^2\le 1$$
Observación:
Notemos que el punto de coordenadas $(\bar{x},\bar{y})$ satisface por igual una y otra recta de regresión, y, por tanto, éste es el punto de intersección de las mismas.
Nota: Las ecuaciones de las rectas de regresión lineal se deducen imponiendo un criterio de mínima distancia al cuadrado de cada uno de los puntos de la nube al punto sobre dicha recta que tiene la misma abscisa que el punto dado, pero ello se estudia en el Bachillerato. En este curso ( 4.º de ESO ), nos limitamos a aplicar estos resultados.
Calcular la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ con ayuda de una calculadora científica básica ( del tipo Casio fx82 MS ) es rápido y sencillo: primero hay poner la calculadora en el modo adecuado ( MODE REG(3) - > LIN(1) ), y a continuación hay que introducir los datos de la siguiente forma:
$x_1,y_1;n_1$ M+
$x_2,y_2;n_2$ M+
...
$x_k,y_k;n_k$ M+
Hecho ésto, basta con consultar los resultados:
S-VAR -> -> 1
A(1),B(2),r(3)
De manera que la recta pedida, en forma explícita, vendrá dada por $y=Bx+A$, pudiendo saber también el valor de $r$ ( el coeficiente de correlación de Pearson )
Ejemplo:
Seleccionando el modo de cálculo de regresión ( MODE 3 ) de la calculadora científica básica y, a continuación, el ajustes lineal ( 1), e introduciendo los puntos $(x,y)$:
1,0;1 M+
3,2;1 M+
4,4;1 M+
5,4;1 M+
5,6;1 M+
ya podemos pasar a consultar el valor de los coeficientes $A$ y $B$ de la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$, así como el coeficiente de correlación de Pearson $r$: ( S-VAR -> -> 1,2,3 ), obteniendo los siguientes valores (aproximando a las diezmilésimas):
$$A=-1,4286$$ $$B=1,2857$$ y $$r=0,9435$$ Así pues, la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ es $$y=1,2857\,x-1,4286$$
Nota: El coeficiente de determinación $R^2$, que se suele expresar en tanto por ciento, es aquí, del $89\,\%$
Por otra parte, el valor estimado de $y$ ( que denotaremos por $\hat{y}$ ) para $x=2$, se calcula haciendo uso del modelo de ajuste por regresión, sustituyendo $x$ por el valor $2$ $$1,2857\cdot 2-1,4286=1,1429$$ y puede calcularse también con la calculadora, directamente, tecleando S-VAR -> -> -> 2 obteniendo $$\hat{y}=1,1429$$
El siguiente gráfico muestra la nube de puntos y la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ pedida
$\square$
lunes, 28 de mayo de 2018
Un ejercicio básico de agrupación de valores de una variable estadística en intervalos
ENUNCIADO.
SOLUCIÓN.
Observemos que el número de valores es $N=6\cdot 6+2=38$ ( están dispuestos en un rectángulo de $6$ filas por $6$ columnas, más otros dos valores en una séptima fila ); así pues el número de intervalos, $n_c$, de agrupación que tomaremos es el entero más próximo a $|\sqrt{N}|$, esto es $n_c=6$. Establecemos que todos los intervalos tengan la misma longitud, $\ell$, que será igual al entero por exceso que aproxima a $\dfrac{\text{rango}}{n_c}$, esto es $\dfrac{|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|}{n_c}=\dfrac{|79-52|}{6}\approx 5$.
El extremo inferior del primer intervalo lo establecemos de la siguiente forma $$e_{1}^{\text{inf}}=x_{\text{mín}}-\dfrac{n_c\cdot \ell - \text{rango}}{2}$$ que nos da un valor de $$e_{1}^{\text{inf}}=52-\dfrac{6\cdot 5 - 27}{2}=50'5$$
Así pues, los $6$ intervalos de agrupación son: $[50'5\,,\,55'5)$, $[55'5\,,\,60'5)$, $[60'5\,,\,65'5)$, $[65'5\,,\,70'5)$, $[70'5\,,\,75'5)$ y $[75'5\,,\,80'5)$
La agrupación de los valores queda como sigue:
Nota:
Para hacer el recuento con comodidad, puede ser de utilidad elaborar el diagrama de tallo y hojas:
y ordenando el dígito de las decenas:
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SOLUCIÓN.
Observemos que el número de valores es $N=6\cdot 6+2=38$ ( están dispuestos en un rectángulo de $6$ filas por $6$ columnas, más otros dos valores en una séptima fila ); así pues el número de intervalos, $n_c$, de agrupación que tomaremos es el entero más próximo a $|\sqrt{N}|$, esto es $n_c=6$. Establecemos que todos los intervalos tengan la misma longitud, $\ell$, que será igual al entero por exceso que aproxima a $\dfrac{\text{rango}}{n_c}$, esto es $\dfrac{|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|}{n_c}=\dfrac{|79-52|}{6}\approx 5$.
El extremo inferior del primer intervalo lo establecemos de la siguiente forma $$e_{1}^{\text{inf}}=x_{\text{mín}}-\dfrac{n_c\cdot \ell - \text{rango}}{2}$$ que nos da un valor de $$e_{1}^{\text{inf}}=52-\dfrac{6\cdot 5 - 27}{2}=50'5$$
Así pues, los $6$ intervalos de agrupación son: $[50'5\,,\,55'5)$, $[55'5\,,\,60'5)$, $[60'5\,,\,65'5)$, $[65'5\,,\,70'5)$, $[70'5\,,\,75'5)$ y $[75'5\,,\,80'5)$
La agrupación de los valores queda como sigue:
---------------------------- ---------------------------- i | intervalo | n_i | N_i ---------------------------- 1 | [50'5,55'5) | 5 | 5 ---------------------------- 2 | [55'5,60'5) | 5 | 10 ---------------------------- 1 | [60'5,65'5) | 8 | 18 ---------------------------- 1 | [65'5,70'5) | 11 | 29 ---------------------------- 1 | [70'5,75'5) | 5 | 34 ---------------------------- 1 | [75'5,80'5) | 4 | 38 ----------------------------
Nota:
Para hacer el recuento con comodidad, puede ser de utilidad elaborar el diagrama de tallo y hojas:
5| 7 4 2 9 8 5 5 4 7 6| 8 7 0 2 9 3 1 5 7 4 6 7 4 6 9 1 4 8 7| 4 5 4 7 9 1 0 8 0 8 3
y ordenando el dígito de las decenas:
5| 2 4 4 5 5 7 7 8 9 6| 0 1 1 2 3 4 4 4 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9 7| 0 0 1 3 4 4 5 7 8 8 9
$\square$
miércoles, 9 de mayo de 2018
Diagramas de red
En este ejemplo, adecuado para utilizar un diagrama de red, se representan las notas de cuatro alumnos en cuatro asignaturas.
Estadística descriptiva unidimensional. Valores atípicos
Sea un valor $k$ de una variable estadística $X$. Convendremos que dicho valor es atípico si $k\succ Q_3 + 1,5\cdot RIQ$ o bien si $k \prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$, donde el rango intercuartílico $\text{RIQ}$ se define como $|Q_3-Q_1|$
Ejemplo:
ENUNCIADO. En una distribución estadística de una cierta variable estadística $X$ se sabe que el rango intercuartílico es $10$ y que el valor del tercer cuartil es $15$. Sea un cierto valor de la variable estadística, que es 31. Justifíquese el hecho de que dicho valor sea atípico.
SOLUCIÓN
Observemos que $Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ}=15+1,5\cdot 10=15+15=30 \prec 31$, luego $31$ es un valor atípico.
Nota: Los valores atípicos se representan con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes
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Ejemplo:
ENUNCIADO. En una distribución estadística de una cierta variable estadística $X$ se sabe que el rango intercuartílico es $10$ y que el valor del tercer cuartil es $15$. Sea un cierto valor de la variable estadística, que es 31. Justifíquese el hecho de que dicho valor sea atípico.
SOLUCIÓN
Observemos que $Q_3+1,5 \cdot \text{RIQ}=15+1,5\cdot 10=15+15=30 \prec 31$, luego $31$ es un valor atípico.
Nota: Los valores atípicos se representan con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes
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jueves, 26 de abril de 2018
Obtención de la función recíproca asociada a una función biyecta empleando GeoGebra
Ejemplo de cálculo de la función recíproca asociada a una función biyectiva, empleando GeoGebra
viernes, 23 de marzo de 2018
Extracción de bolas sin reemplazamiento
ENUNCIADO. En una urna hay $3$ bolas rojas y $4$ bolas negras. Extraemos dos, sin reemplazamiento. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color ?.
SOLUCIÓN. Si, a pesar de ser del mismo color, consideramos las bolas distinguibles unas de otra -- etiquetándolas, por ejemplo, con un número --, podemos construir un espacio muestral que esté formado por sucesos igualmente probables: $\Omega=\{R_1R_2,R_2R1,R_1B_1,\ldots,B_1B_2\}$, con lo cual podemos aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida ( número de casos favorables a obtener dos bolas del mismo color dividido por el número de maneras de emparejar dos bolas de un total de siete ) que es igual a $$\dfrac{V_{3,2}+V_{4,2}}{V_{4+3,2}}=\dfrac{3\cdot 2+4\cdot 3}{7\cdot 6}=\dfrac{18}{42}=\dfrac{3}{7}$$
También se puede razonar, de forma equivalente, y aplicando igualmente la regla de Laplace, de la siguiente manera: se pueden elegir la pareja de bolas de $C_{7,2}$ maneras, y como, además, las bolas se pueden reordenar entre sí, tenemos $2! \cdot C_{7,2}$ posibilidades a la hora emparejar las $7$ bolas; por otra parte, tendremos $2!\cdot C_{3,2}$ maneras de emparejar dos bolas rojas de entre las tres que hay en la bolsa y $2!\cdot C_{4,2}$ maneras de emparejar las cuatro bolas negras, con lo cual obtenemos $$\displaystyle \dfrac{\binom{3}{2} + \binom{4}{2}}{\binom{3+4}{2}}$$, que, de hecho, es lo mismo que $$\dfrac{V_{3,2}+V_{4,2}}{V_{4+3,2}}$$ pues $C_{m,n}=\dfrac{V_{m,n}}{n!}$ y por tanto $n!\cdot C_{m,n}=V_{m,n}$ ( con $m \ge n$ ).
Incluso podemos también contemplar éste otro enfoque, también equivalente. Al sacar las bolas una tras otra, sin reemplazarlas, es lo mismo que si las sacásemos als dos a la vez, luego podemos escribir, directamente, las combinaciones ordinarias, obteniendo -- desde luego -- el mismo resultado, $$\displaystyle \dfrac{\binom{3}{2} + \binom{4}{2}}{\binom{3+4}{2}}=\dfrac{3}{7}$$
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SOLUCIÓN. Si, a pesar de ser del mismo color, consideramos las bolas distinguibles unas de otra -- etiquetándolas, por ejemplo, con un número --, podemos construir un espacio muestral que esté formado por sucesos igualmente probables: $\Omega=\{R_1R_2,R_2R1,R_1B_1,\ldots,B_1B_2\}$, con lo cual podemos aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida ( número de casos favorables a obtener dos bolas del mismo color dividido por el número de maneras de emparejar dos bolas de un total de siete ) que es igual a $$\dfrac{V_{3,2}+V_{4,2}}{V_{4+3,2}}=\dfrac{3\cdot 2+4\cdot 3}{7\cdot 6}=\dfrac{18}{42}=\dfrac{3}{7}$$
También se puede razonar, de forma equivalente, y aplicando igualmente la regla de Laplace, de la siguiente manera: se pueden elegir la pareja de bolas de $C_{7,2}$ maneras, y como, además, las bolas se pueden reordenar entre sí, tenemos $2! \cdot C_{7,2}$ posibilidades a la hora emparejar las $7$ bolas; por otra parte, tendremos $2!\cdot C_{3,2}$ maneras de emparejar dos bolas rojas de entre las tres que hay en la bolsa y $2!\cdot C_{4,2}$ maneras de emparejar las cuatro bolas negras, con lo cual obtenemos $$\displaystyle \dfrac{\binom{3}{2} + \binom{4}{2}}{\binom{3+4}{2}}$$, que, de hecho, es lo mismo que $$\dfrac{V_{3,2}+V_{4,2}}{V_{4+3,2}}$$ pues $C_{m,n}=\dfrac{V_{m,n}}{n!}$ y por tanto $n!\cdot C_{m,n}=V_{m,n}$ ( con $m \ge n$ ).
Incluso podemos también contemplar éste otro enfoque, también equivalente. Al sacar las bolas una tras otra, sin reemplazarlas, es lo mismo que si las sacásemos als dos a la vez, luego podemos escribir, directamente, las combinaciones ordinarias, obteniendo -- desde luego -- el mismo resultado, $$\displaystyle \dfrac{\binom{3}{2} + \binom{4}{2}}{\binom{3+4}{2}}=\dfrac{3}{7}$$
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viernes, 2 de febrero de 2018
jueves, 11 de enero de 2018
Resolución de problemas de aritmética mediante el álgebra
ENUNCIADO. Pablo y Marta salen un domingo por la tarde. Entre los dos tienen $24$ euros. Si Marta le diese $2$ euros a Pablo, éste tendría el doble de dinero que Marta. ¿ Qué cantidad de dinero tiene cada uno ?
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al dinero que inicialmente tiene Marta y por $y$ al dinero que inicialmente tiene Pablo. Entonces podemos escribir: $$x+y=24\quad \quad (1)$$ por otra parte la segunda frase del enunciado se transcribe así $$2\,(x-2) = y+2 \quad \quad (2)$$ Estas dos ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: $$\left\{\begin{matrix}x+y=24 \\ 2\,(x-2)=y+2 \end{matrix}\right.$$ Simplificando la segunda ecuación podemos escribirlo así $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&24 \\ 2\,x&-&y&=&6 \end{matrix}\right.\overset{e_1+e_2 \, \rightarrow \,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&24 \\ 3\,x&&&=&30 \end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación se obtiene $$x=10\,\text{euros}$$ y sustituyendo este valor en la primera, $$y=24-10=14\,\text{euros}$$ $\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al dinero que inicialmente tiene Marta y por $y$ al dinero que inicialmente tiene Pablo. Entonces podemos escribir: $$x+y=24\quad \quad (1)$$ por otra parte la segunda frase del enunciado se transcribe así $$2\,(x-2) = y+2 \quad \quad (2)$$ Estas dos ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: $$\left\{\begin{matrix}x+y=24 \\ 2\,(x-2)=y+2 \end{matrix}\right.$$ Simplificando la segunda ecuación podemos escribirlo así $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&24 \\ 2\,x&-&y&=&6 \end{matrix}\right.\overset{e_1+e_2 \, \rightarrow \,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&24 \\ 3\,x&&&=&30 \end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación se obtiene $$x=10\,\text{euros}$$ y sustituyendo este valor en la primera, $$y=24-10=14\,\text{euros}$$ $\square$
miércoles, 10 de enero de 2018
Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Vamos a reducir el sistema, escalonándolo ( método de Gauss ). Hecho ésto, podremos despejar la única incógnita de la tercera ecuación resultante, y, a partir del valor de ésta, calcularemos luego el valor de las otras dos, sustituyendo 'hacia arriba'.
$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right. \overset{e_2-e_1 \, \rightarrow e_2\,;\,e_3-e_1 \, \rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&&&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2 \end{matrix}\right. \sim $
$\overset{e_2 \, \leftrightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2\\ &&2y&&&=&1\end{matrix}\right. \overset{xyz \,\rightarrow \, xzy}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-2z&+&2y&=&2\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.\sim $
$\overset{\frac{1}{2}\,e_2 \, \rightarrow \, e_2}{\sim}\left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-z&+&y&=&1\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.$
Ahora, de la última ecuación, podemos despejar $y$, con lo cual $$y=\dfrac{1}{2}$$ Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, encontramos $-z+\dfrac{1}{2}=1$ y despejando $z$, $$z=-\dfrac{1}{2}$$ Y, finalmente, sustituyendo estos dos valores encontrados para $y$ y para $z$ en la primera ecuación, encontramos el valor de $x$ ( despejándola ), $$x=1-(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}=2$$ $\square$
SOLUCIÓN. Vamos a reducir el sistema, escalonándolo ( método de Gauss ). Hecho ésto, podremos despejar la única incógnita de la tercera ecuación resultante, y, a partir del valor de ésta, calcularemos luego el valor de las otras dos, sustituyendo 'hacia arriba'.
$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right. \overset{e_2-e_1 \, \rightarrow e_2\,;\,e_3-e_1 \, \rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&&&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2 \end{matrix}\right. \sim $
$\overset{e_2 \, \leftrightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2\\ &&2y&&&=&1\end{matrix}\right. \overset{xyz \,\rightarrow \, xzy}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-2z&+&2y&=&2\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.\sim $
$\overset{\frac{1}{2}\,e_2 \, \rightarrow \, e_2}{\sim}\left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-z&+&y&=&1\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.$
Ahora, de la última ecuación, podemos despejar $y$, con lo cual $$y=\dfrac{1}{2}$$ Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, encontramos $-z+\dfrac{1}{2}=1$ y despejando $z$, $$z=-\dfrac{1}{2}$$ Y, finalmente, sustituyendo estos dos valores encontrados para $y$ y para $z$ en la primera ecuación, encontramos el valor de $x$ ( despejándola ), $$x=1-(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}=2$$ $\square$
Resolución de problemas mediante el álgebra
ENUNCIADO. Lola ha comprado una colección de libros por $360$ euros, costando lo mismo cada uno de los libros que la forman. Su amiga Ana ha comprado otra colección distinta, que también le ha costado $360$ euros, con el mismo precio para cada uno de los libros. Sabemos que la colección de Ana tiene $2$ libros más que la de Lola, sin embargo el precio de cada libro de la colección de Lola es de $30$ euros menos que el precio de cada uno de los libros de la colección de Ana. ¿ Cuántos libros hay en la coleción de Ana ? ¿ Cuántos libros en la colección de Lola ? ¿ Cuál es el precio de cada uno de los libros de Lola ? ¿ Y el de los de Ana ?
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de libros de Lola y por $y$ al número de libros de Ana. Teniendo en cuenta que $x \succ y$, deberemos escribir $$x=y+2 \quad \quad (1)$$ Por otra parte, si $\dfrac{360}{y}$ es el precio de cada uno de los libros de Lola, deberá cumplirse que $$x\,(\dfrac{360}{y}-30)=360 \quad \quad (2)$$ Vamos ahora a resolver el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2). Sustituyendo (1) en (2), $$(y+2)\,(\dfrac{360}{y}-30)=360$$ y multiplicando por $y$ ambos miembros de la igualdad obtenemos la siguiente ecuación, equivalente a la anterior: $$(y+2)\,(360-30y)=360\,y$$ esto es $$360y+720-30y^2-60y=360y$$ y simplificando llegamos a $$y^2+2y-24=0$$ con lo cual $$y=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 24}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 10}{2}=\left\{\begin{matrix}4 \\ \\ -6\end{matrix}\right.$$ El segundo valor, que es negativo, si bien es solución de la ecuación no es solución del problema, luego el único valor que satisface los requerimientos del enunciado es $$y=4\,\text{libros ( en la colección de Ana)}$$ por lo que, según (1), vemos que $$x=4+2=6\,\text{libros ( en la colección de Lola )}$$ Finalmente, ya podemos calcular los precios de los libros: el precio de los libros de la colección de Ana es de $\dfrac{360}{4}=90\,\text{euros}$ y el precio de los libros de la colección de Lola es de $\dfrac{360}{6}=60\,\text{euros}$ $\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de libros de Lola y por $y$ al número de libros de Ana. Teniendo en cuenta que $x \succ y$, deberemos escribir $$x=y+2 \quad \quad (1)$$ Por otra parte, si $\dfrac{360}{y}$ es el precio de cada uno de los libros de Lola, deberá cumplirse que $$x\,(\dfrac{360}{y}-30)=360 \quad \quad (2)$$ Vamos ahora a resolver el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2). Sustituyendo (1) en (2), $$(y+2)\,(\dfrac{360}{y}-30)=360$$ y multiplicando por $y$ ambos miembros de la igualdad obtenemos la siguiente ecuación, equivalente a la anterior: $$(y+2)\,(360-30y)=360\,y$$ esto es $$360y+720-30y^2-60y=360y$$ y simplificando llegamos a $$y^2+2y-24=0$$ con lo cual $$y=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 24}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 10}{2}=\left\{\begin{matrix}4 \\ \\ -6\end{matrix}\right.$$ El segundo valor, que es negativo, si bien es solución de la ecuación no es solución del problema, luego el único valor que satisface los requerimientos del enunciado es $$y=4\,\text{libros ( en la colección de Ana)}$$ por lo que, según (1), vemos que $$x=4+2=6\,\text{libros ( en la colección de Lola )}$$ Finalmente, ya podemos calcular los precios de los libros: el precio de los libros de la colección de Ana es de $\dfrac{360}{4}=90\,\text{euros}$ y el precio de los libros de la colección de Lola es de $\dfrac{360}{6}=60\,\text{euros}$ $\square$
Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales sencillos
ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Para obtener los valores de la primera incógnita podemos hacer lo siguiente:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1+e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ 2\,x^2&&&=&12\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&&&=&6\end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación, se obtiene fácilmente $$x=\pm \sqrt{6}$$
Para obtener los valores de la otra incógnita, procedemos de manera parecida:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&2\,y^2&=&8\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&y^2&=&4\end{matrix}\right.$$ y de la segunda ecuación se llega a $$y=\sqrt{4}=\pm\,2$$
La solución viene dada por cuatro pares de valores "(x,y)", que representan puntos en el plano ya que cada una de las ecuaciones del sistema corresponde a una curva en el plano, que como se verá más adelante, en el caso que nos ocupa, se refieren a una circunferencia y una hipérbola, respectivamente (1); por consiguiente la solución del sistema se interpreta como el conjunto de puntos de intersección de esas curvas, y son los siguientes: $$(\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(\sqrt{6}\,,\,-2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,-2)$$
-oOo-
Nota 1
Estas gráficas, que corresponden a curvas cónicas, se estudian en 1.º de Bachillerato, pero os recomiendo que utilicéis el programa GeoGebra para visualizar las curvas mencionadas, para lo cual basta con editar la ecuación de las mismas en la línea de entrada; así podréis visualizar también los puntos que hemos obtenido como puntos de intersección de las dos curvas y que forman la solución del sistema de ecuaciones.
$\square$
$$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Para obtener los valores de la primera incógnita podemos hacer lo siguiente:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1+e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ 2\,x^2&&&=&12\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&&&=&6\end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación, se obtiene fácilmente $$x=\pm \sqrt{6}$$
Para obtener los valores de la otra incógnita, procedemos de manera parecida:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&2\,y^2&=&8\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&y^2&=&4\end{matrix}\right.$$ y de la segunda ecuación se llega a $$y=\sqrt{4}=\pm\,2$$
La solución viene dada por cuatro pares de valores "(x,y)", que representan puntos en el plano ya que cada una de las ecuaciones del sistema corresponde a una curva en el plano, que como se verá más adelante, en el caso que nos ocupa, se refieren a una circunferencia y una hipérbola, respectivamente (1); por consiguiente la solución del sistema se interpreta como el conjunto de puntos de intersección de esas curvas, y son los siguientes: $$(\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(\sqrt{6}\,,\,-2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,-2)$$
Nota 1
Estas gráficas, que corresponden a curvas cónicas, se estudian en 1.º de Bachillerato, pero os recomiendo que utilicéis el programa GeoGebra para visualizar las curvas mencionadas, para lo cual basta con editar la ecuación de las mismas en la línea de entrada; así podréis visualizar también los puntos que hemos obtenido como puntos de intersección de las dos curvas y que forman la solución del sistema de ecuaciones.
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