Otro ejercicio de factorización de polinomios

Raíces de un polinomio y factorización del mismo

Factorización de polinomios con GeoGebra

Factorizando polinomios

ENUNCIADO. Factorizar el polinomio $$P(x)=x^3+2x^2-x-2$$

SOLUCIÓN. Hay una fórmula para encontrar las raíces de los polinomios de tercer grado, pero como se ha comentado en clase, no la usamos, por su complejidad. Como alternativa, trataremos de buscar, primero, las raíces enteras ( si las hubiera ).

Sabemos ( por un teorema enunciado en clase ) que toda raíz entera de $P(x)$ ha de ser divisor del término independiente, que en la ecuación pedida es $-2$. Como $$\text{div}(-2)=\{-2,-1,1,2\}$$ veremos a continuación si alguno de esos números cumple la condición para que sea raíz del polinomio dado, que, como sabemos es la de anular el polinomio cuando $x$ toma dicho valor.

Observemos que $P(1)=1^3+2\cdot 1^2-1-2=0$, luego $r_1=1$ es una raíz de $P(x)$, así que, por el teorema del factor, podemos escribir $$P(x)=(x-r_1)\cdot Q(x)$$ siendo $Q(x)$ el polinomio que resulta de $P(x) \div (x-1)$. Calculemos dicho polinomio.
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 2 & -1 & -2 \\
1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array}$$ luego $Q(x)=x^2+3\,x+2$.

Entonces, las restantes raíces de $P(x)$ ( si las hubiera ), también han de ser raíces de $Q(x)$. Así, que vamos a calcular las raíces de $Q(x)$, esto es $\{x\in \mathbb{x}:Q(x)=0\}$ $$x^2+3\,x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm \sqrt{3^3-4\cdot 1 \cdot2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}-1 \\ \\ -2\end{matrix}\right.$$ por lo tanto, $P(x)$ tiene dos raíces más ( además de $r_1=1$, con multiplicidad igual a $1$ ), que son $r_2=-1$ y $r_2=-2$; ambas, con multiplicidad $1$, ya que al ser el polinomio $P(x)$ de grado $3$, la suma de las multiplicidades de las raíces encontradas ha de ser, a lo sumo, $3$.

Así, pues, por el teorema del factor, podemos escribir la forma factorizada de $P(x)$ pedida como $$P(x)=(x-1)(x-(-1))(x-(-2))$$ esto es $$P(x)=(x-1)(x+1)(x+2)$$
$\square$

Calculando las raíces de un polinomio

ENUNCIADO. Encontrar todas las raíces del polinomio $P(x)=x^4+x^3+x^2+x$

SOLUCIÓN. Extrayendo factor común de $x$, llegamos a $$x\,(x^3+x^2+x+1)$$ esto es $$(x-0)\,(x^3+x^2+x+1)$$ por lo que ( teorema del factor ) una de las raíces de $P(x)$ es $r_1=0$, con multiplicidad $m_1=1$. Si el polinomio tiene más raíces, éstas deberán ser, también, raíces de $Q(x):=x^3+x^2+x+1$. Averiguaremos ahora si este polinomio tiene raíces.

Si $Q(x)$ tiene raíces enteras, éstas han de ser divisores del término independiente, que es $1$, luego las posibles raíces enteras son $\{-1,1\}$.

Veamos si alguna de ellas lo es. Como todos los términos de $Q(x)$ son positivos, $1$ no puede ser una raíz, pues no puede anular el polinomio. Por otra parte, el valor de $Q(x)$ en $x=-1$ es $Q(x)=(-1)^3+(-1)^2+(-1)+1=0$, luego $r_2=-1$ es raíz de $Q(x)$ y, por tanto, también lo es de $P(x)$.

Dividiendo ahora $Q(x)$ entre $x-(-1)$ ( teorema del factor ), encontramos el polinomio que multiplicado por $x-(-1)$ es igual a $Q(x)$ $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}$$ Dicho polinomio es $x^2+1$, que no tiene raíces ( es un polinomio primo ), ya que, imponiendo la condición para encontrar raíces, $x^2+1=0$, vemos que $x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$

Así pues las raíces de $P(x)$ son $\{0,-1\}$, ambas con multiplicidad $1$.
$\square$

Factorización de polinomios

ENUNCIADO. Calcular las raíces del polinomio $P(x)=x^4-29\,x^2+100$ y factorizarlo

SOLUCIÓN. El conjunto de raíces viene dado por $\{x \in \mathbb{R}: P(x)=0\}$, por lo que imponiendo la condición nos encontramos con una ecuación bicuadrada $$x^4-29\,x^2+100=0$$ que resolveremos donatando $x^2$ por $y$; así, $x^4=(x^2)^2=y^2$, con lo cual la ecuación original se transforma en $y^2-29\,y+100=0$ que es una ecuación cuadrática y, por tanto, sabemos resolverla: $$y^2-29\,y+100=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{-(-29)\pm \sqrt{(-29)^2-4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}4 \\ \\ 25\end{matrix}\right.$$ Deshaciendo ahora el cambio que hemos efectuado al principio $$x=\sqrt{y}$$ luego, si $y=4$ obtenemos $x=\sqrt{4}=\pm 2$; y, si $y=25$ obtenemos $x=\sqrt{25}=\pm 5$. El conjunto de raíces del polinomio es pues $$\{-5,-2,2,5\}$$
$\square$