Otro ejercicio de probabilidad compuesta

ENUNCIADO. Una urna contiene 2 bolas amarillas, 6 bolas verdes y 7 bolas negras. Se extraen tres bolas de la urna, una tras otra, sin devolver las bolas que se van sacando de la urna. Calcúlese la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean del mismo color.

SOLUCIÓN. La urna contiene un total de $2+6+7=15$ bolas. La probabilidad pedida es igual a la probabilidad del suceso contrario ( la de haber entre las tres bolas extraídas al menos una que sea de un color distinto a las otras dos ); así pues, primero calcularemos la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color, y, finalmente, restaremos esa probabilidad de la probabilidad total, esto es, de $1$.

Por la probabilidad compuesta, y teniendo en cuenta que el resultado de una extracción depende del resultado de la anterior ( extracciones dependientes ), la probabilidad de que las tres bolas sean amarillas es igual a $$\dfrac{2}{15}\cdot \dfrac{2-1}{15-1} \cdot \dfrac{2-2}{15-2}=0$$ Análogamente, la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean verdes es igual a $$\dfrac{6}{15}\cdot \dfrac{6-1}{15-1} \cdot \dfrac{6-2}{15-2}=\dfrac{4}{91}$$ y la probabilidad de que las tres bolas sean negras es $$\dfrac{7}{15}\cdot \dfrac{7-1}{15-1} \cdot \dfrac{7-2}{15-2}=\dfrac{1}{13}$$ Entonces, al no incompatibles los tres sucesos anteriores, la probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color ( amarillas, verdes o bien negras ) es igual a $$0+\dfrac{4}{91}+\dfrac{1}{13}=\dfrac{11}{91}$$ Luego la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color es igual a $$1-\dfrac{11}{91}=\dfrac{80}{91}$$
$\square$