Resolución de problemas mediante el álgebra

ENUNCIADO. Lola ha comprado una colección de libros por $360$ euros, costando lo mismo cada uno de los libros que la forman. Su amiga Ana ha comprado otra colección distinta, que también le ha costado $360$ euros, con el mismo precio para cada uno de los libros. Sabemos que la colección de Ana tiene $2$ libros más que la de Lola, sin embargo el precio de cada libro de la colección de Lola es de $30$ euros menos que el precio de cada uno de los libros de la colección de Ana. ¿ Cuántos libros hay en la coleción de Ana ? ¿ Cuántos libros en la colección de Lola ? ¿ Cuál es el precio de cada uno de los libros de Lola ? ¿ Y el de los de Ana ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de libros de Lola y por $y$ al número de libros de Ana. Teniendo en cuenta que $x \succ y$, deberemos escribir $$x=y+2 \quad \quad (1)$$ Por otra parte, si $\dfrac{360}{y}$ es el precio de cada uno de los libros de Lola, deberá cumplirse que $$x\,(\dfrac{360}{y}-30)=360 \quad \quad (2)$$ Vamos ahora a resolver el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2). Sustituyendo (1) en (2), $$(y+2)\,(\dfrac{360}{y}-30)=360$$ y multiplicando por $y$ ambos miembros de la igualdad obtenemos la siguiente ecuación, equivalente a la anterior: $$(y+2)\,(360-30y)=360\,y$$ esto es $$360y+720-30y^2-60y=360y$$ y simplificando llegamos a $$y^2+2y-24=0$$ con lo cual $$y=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 24}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 10}{2}=\left\{\begin{matrix}4 \\ \\ -6\end{matrix}\right.$$ El segundo valor, que es negativo, si bien es solución de la ecuación no es solución del problema, luego el único valor que satisface los requerimientos del enunciado es $$y=4\,\text{libros ( en la colección de Ana)}$$ por lo que, según (1), vemos que $$x=4+2=6\,\text{libros ( en la colección de Lola )}$$ Finalmente, ya podemos calcular los precios de los libros: el precio de los libros de la colección de Ana es de $\dfrac{360}{4}=90\,\text{euros}$ y el precio de los libros de la colección de Lola es de $\dfrac{360}{6}=60\,\text{euros}$ $\square$