Raíces de un polinomio y factorización del mismo

Obtención de las raíces de un polinomio con ayuda de GeoGebra

Raíces de un polinomio y descomposición en factores del mismo

ENUNCIADO. Calcular las raíces y factorizar $$P(x)=x^4-2\,x^3-x^2+2\,x$$

SOLUCIÓN. En este caso, un primer paso de factorización consiste, simplemente, en sacar factor común de $x$ en el polinomio dado $$x\cdot (x^3-2\,x^2-x+2)$$ luego una raíz del polinomio $P(x)$ es $r_1=0$, que tiene multiplicidad $1$, pues sólo aparecerá una vez.

Si hay más raíces, también lo serán del polinomio $x^3-2\,x^2-x+2$. Por uno de los teoremas estudiados sabemos que las posibles raíces enteras del mismo han de ser divisores del término independiente, $2$; y es inmediato encontrarlos, $\text{div}(2)=\{\pm 1\,,\,\pm 2\}$.

Ensayemos, por ejemplo, el valor $-1$, y observemos que $\left( x^3-2\,x^2-x+2 \right)_{x=-1}=(-1)^3-2\cdot (-1)^2-(-1)+2=0$ lo cual implica que $-1$ es raíz del polinomio $x^3-2\,x^2-x+2$ y por tanto de $P(x)$; así que encontramos otra raíz, $r_2=-1$. Con lo cual otro paso de factorización de $P(x)$ es el siguiente $$P(x)=x\cdot (x-(-1)\cdot Q(x)$$

Veamos ahora cuál es el polinomio $Q(x)$; para ello basta dividir $x^3-2\,x^2-x+2$ entre $x-(-1)$. Empleando el método de Ruffini, $$\begin{array}{r|rr}
& 1 & -2 & -1 & 2 \\
-1 & & -1 & 3 & -2 \\
\hline & 1 & -3 & 2 & 0 \end{array}$$
y por tanto, $Q(x)=x^2-3x+2$. Entonces, si $P(x)$ tiene más raíces, éstas también lo serán del polinomio $Q(x)$; así que, imponiendo la condición, de ráiz: $$x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 2\end{matrix}\right.$$ encontrando pues otras dos raíces $$r_3=1 \quad \text{y} \quad r_4=2$$

Resumiendo, hemos encontrado cuatro raíces ( todas ellas de multiplicidad uno ) para el polinomio dado ( que es de grado $4$ ): $$\{-1,0,1,2\}$$ Y, por el teorema del factor podemos decir que $$P(x)=x\cdot (x-(-1))\cdot (x-1)\cdot (x-2)$$ o lo que es lo mismo $$P(x)=x\cdot (x+1)\cdot (x-1)\cdot (x-2)$$
$\square$

Calculando las raíces de un polinomio

ENUNCIADO. Encontrar todas las raíces del polinomio $P(x)=x^4+x^3+x^2+x$

SOLUCIÓN. Extrayendo factor común de $x$, llegamos a $$x\,(x^3+x^2+x+1)$$ esto es $$(x-0)\,(x^3+x^2+x+1)$$ por lo que ( teorema del factor ) una de las raíces de $P(x)$ es $r_1=0$, con multiplicidad $m_1=1$. Si el polinomio tiene más raíces, éstas deberán ser, también, raíces de $Q(x):=x^3+x^2+x+1$. Averiguaremos ahora si este polinomio tiene raíces.

Si $Q(x)$ tiene raíces enteras, éstas han de ser divisores del término independiente, que es $1$, luego las posibles raíces enteras son $\{-1,1\}$.

Veamos si alguna de ellas lo es. Como todos los términos de $Q(x)$ son positivos, $1$ no puede ser una raíz, pues no puede anular el polinomio. Por otra parte, el valor de $Q(x)$ en $x=-1$ es $Q(x)=(-1)^3+(-1)^2+(-1)+1=0$, luego $r_2=-1$ es raíz de $Q(x)$ y, por tanto, también lo es de $P(x)$.

Dividiendo ahora $Q(x)$ entre $x-(-1)$ ( teorema del factor ), encontramos el polinomio que multiplicado por $x-(-1)$ es igual a $Q(x)$ $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}$$ Dicho polinomio es $x^2+1$, que no tiene raíces ( es un polinomio primo ), ya que, imponiendo la condición para encontrar raíces, $x^2+1=0$, vemos que $x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$

Así pues las raíces de $P(x)$ son $\{0,-1\}$, ambas con multiplicidad $1$.
$\square$

Factorización de polinomios

ENUNCIADO. Calcular las raíces del polinomio $P(x)=x^4-29\,x^2+100$ y factorizarlo

SOLUCIÓN. El conjunto de raíces viene dado por $\{x \in \mathbb{R}: P(x)=0\}$, por lo que imponiendo la condición nos encontramos con una ecuación bicuadrada $$x^4-29\,x^2+100=0$$ que resolveremos donatando $x^2$ por $y$; así, $x^4=(x^2)^2=y^2$, con lo cual la ecuación original se transforma en $y^2-29\,y+100=0$ que es una ecuación cuadrática y, por tanto, sabemos resolverla: $$y^2-29\,y+100=0 \Leftrightarrow y=\dfrac{-(-29)\pm \sqrt{(-29)^2-4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}4 \\ \\ 25\end{matrix}\right.$$ Deshaciendo ahora el cambio que hemos efectuado al principio $$x=\sqrt{y}$$ luego, si $y=4$ obtenemos $x=\sqrt{4}=\pm 2$; y, si $y=25$ obtenemos $x=\sqrt{25}=\pm 5$. El conjunto de raíces del polinomio es pues $$\{-5,-2,2,5\}$$
$\square$

Encontrar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4x+3$ y, a partir de las mismas, expresar el polinomio como un producto de polinomios primos ( Teorema del Factor ).

Enunciado:
Encontrar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4x+3$ y, a partir de las mismas, expresar el polinomio como un producto de polinomios primos ( Teorema de Factorización ).

Resolución:
Las raíces de un polinomio son los valores de la variable $x$ que anulan dicho polinomio, luego imponiendo esta condición: $x^2-4x+3=0$, encontramos $x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 3 \end{matrix}\right.$; luego el polinomio dado tiene estas dos raíces, que son de multiplicidad uno cada una por ser el polinomio de grado dos. Y, por el teorema de factorización: $P(x)=(x-1)\,(x-3)$.
$\blacksquare$

[nota del autor]