Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. Vamos a reducir el sistema, escalonándolo ( método de Gauss ). Hecho ésto, podremos despejar la única incógnita de la tercera ecuación resultante, y, a partir del valor de ésta, calcularemos luego el valor de las otras dos, sustituyendo 'hacia arriba'.

$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right. \overset{e_2-e_1 \, \rightarrow e_2\,;\,e_3-e_1 \, \rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&&&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2 \end{matrix}\right. \sim$

$\overset{e_2 \, \leftrightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2\\ &&2y&&&=&1\end{matrix}\right. \overset{xyz \,\rightarrow \, xzy}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-2z&+&2y&=&2\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.\sim$

$\overset{\frac{1}{2}\,e_2 \, \rightarrow \, e_2}{\sim}\left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-z&+&y&=&1\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.$

Ahora, de la última ecuación, podemos despejar $y$, con lo cual $$y=\dfrac{1}{2}$$ Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, encontramos $-z+\dfrac{1}{2}=1$ y despejando $z$, $$z=-\dfrac{1}{2}$$ Y, finalmente, sustituyendo estos dos valores encontrados para $y$ y para $z$ en la primera ecuación, encontramos el valor de $x$ ( despejándola ), $$x=1-(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}=2$$ $\square$