ENUNCIADO. En una urna hay $3$ bolas rojas y $4$ bolas negras. Extraemos dos, sin reemplazamiento. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color ?.
SOLUCIÓN. Si, a pesar de ser del mismo color, consideramos las bolas distinguibles unas de otra -- etiquetándolas, por ejemplo, con un número --, podemos construir un espacio muestral que esté formado por sucesos igualmente probables: $\Omega=\{R_1R_2,R_2R1,R_1B_1,\ldots,B_1B_2\}$, con lo cual podemos aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida ( número de casos favorables a obtener dos bolas del mismo color dividido por el número de maneras de emparejar dos bolas de un total de siete ) que es igual a $$\dfrac{V_{3,2}+V_{4,2}}{V_{4+3,2}}=\dfrac{3\cdot 2+4\cdot 3}{7\cdot 6}=\dfrac{18}{42}=\dfrac{3}{7}$$
También se puede razonar, de forma equivalente, y aplicando igualmente la regla de Laplace, de la siguiente manera: se pueden elegir la pareja de bolas de $C_{7,2}$ maneras, y como, además, las bolas se pueden reordenar entre sí, tenemos $2! \cdot C_{7,2}$ posibilidades a la hora emparejar las $7$ bolas; por otra parte, tendremos $2!\cdot C_{3,2}$ maneras de emparejar dos bolas rojas de entre las tres que hay en la bolsa y $2!\cdot C_{4,2}$ maneras de emparejar las cuatro bolas negras, con lo cual obtenemos $$\displaystyle \dfrac{\binom{3}{2} + \binom{4}{2}}{\binom{3+4}{2}}$$, que, de hecho, es lo mismo que $$\dfrac{V_{3,2}+V_{4,2}}{V_{4+3,2}}$$ pues $C_{m,n}=\dfrac{V_{m,n}}{n!}$ y por tanto $n!\cdot C_{m,n}=V_{m,n}$ ( con $m \ge n$ ).
Incluso podemos también contemplar éste otro enfoque, también equivalente. Al sacar las bolas una tras otra, sin reemplazarlas, es lo mismo que si las sacásemos als dos a la vez, luego podemos escribir, directamente, las combinaciones ordinarias, obteniendo -- desde luego -- el mismo resultado, $$\displaystyle \dfrac{\binom{3}{2} + \binom{4}{2}}{\binom{3+4}{2}}=\dfrac{3}{7}$$
$\square$
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