Estimación de las cotas de error absoluto de los resultados de los productos y sumas, con datos afectados de error

ENUNCIADO. Se consideran las siguientes cantidades $a=4\pm 0,5$, donde $\Delta_a=0,5$, es una cota de error absoluto ( esto es, la máxima incertidumbre de $a$ ); y, $b=22\pm 1$, donde $\Delta_b=1$ es la correspondiente cota de error absoluto ( máxima incertidumbre de $b$ ). Calcúlese el máximo error absoluto de $a\cdot b$ y el máximo error absoluto de $a+b$, así como los intervalos de incertidumbre de $a+b$ y de $a\cdot b$, respectivamente

SOLUCIÓN. Sabemos, por lo explicado en clase, que en el caso de las sumas $\Delta_{a+b}=\Delta_a+\Delta_b$; y, en el caso de un producto, $\varepsilon_{a\cdot b}=\varepsilon_a+\varepsilon_b$, de lo cual se desprende -- por la definición de error relativo, $e \overset{\text{def}}{=} \dfrac{E}{|x|} \Rightarrow E=e\cdot |x| \Rightarrow \Delta_x = \varepsilon_x \cdot x$ --, que $$\Delta_{a \cdot b}=(a\cdot b)\cdot \varepsilon_{a\cdot b}$$

Entonces, $a+b=26$; $\Delta_{a+b}=\Delta_a+\Delta_b=0,5+1 \overset{\text{por exceso}}{\approx} 2$; y, por otra parte, $a\cdot b=88$, con $\varepsilon_{a\cdot b}=\varepsilon_a+\varepsilon_b=\dfrac{0,5}{4}+\dfrac{1}{22}\overset{\text{por exceso}}{\approx}0,18 \Rightarrow \Delta_{a\cdot b}=0,18\cdot 88 \overset{\text{por exceso}}{\approx} 16$

Y, en consecuencia, $$a + b=26\pm 2 \Rightarrow I_{a+b}=(26-2\,,\,26+2)$$ y $$a\cdot b=88 \pm 16 \Rightarrow I_{a\cdot b}=(88-16\,,\,88+16)$$ esto es $$I_{a+b}=(24\,,\,28)$$ y $$I_{a\cdot b}=(72\,,\,104)$$
$\square$