Un problema con números enteros

A partir de la siguiente información: $$\left\{\begin{matrix}a\,b=-6 & (1) \\ a\,c=8 & (2) \\ b\,c=-12 & (3)\end{matrix}\right.$$ donde $a,b$ y $c$ son números enteros distintos de cero, se pide que calculemos los valores que puede tomar la suma $a+b+c$

Multiplicando $(1)$ por $(2)$ y dividiendo por $(3)$, miembro a miembro, se obtiene: $$\dfrac{(a\,b)\cdot (a\,c)}{b\,c}=a^2=\dfrac{-6\cdot 8}{-10}=4 \quad (5)$$

Multiplicando $(1)$ por $(3)$ y dividiendo por $(2)$, miembro a miembro, se obtiene: $$\dfrac{(a\,b)\cdot (b\,c)}{a\,c}=b^2=\dfrac{-6\cdot (-12)}{8}=9 \quad (6)$$

Multiplicando $(2)$ por $(3)$ y dividiendo por $(1)$, miembro a miembro, se obtiene: $$\dfrac{(a\,c)\cdot (b\,c)}{a\,b}=c^2=\dfrac{8\cdot (-12)}{-6}=16 \quad (7)$$

Sumando $(5)$, $(6)$ y $(7)$, miembro a miembro, vemos que $$a^2+b^2+c^2=4+9+16=29 \quad (8)$$

Por otra parte, para cualesquiera $m,n,p$, números reales, conocemos la siguiente identidad: $$(m+n+p)^2=m^2+n^2+p^2+2\,(m\,n+m\,p+n\,p)$$ por consiguiente, en nuestro caso, $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2\,(a\,b+a\,c+b\,c)$$ y teniendo en cuenta $(1)$, $(2)$, $(3)$ y $(8)$ podemos escribir que $$(a+b+c)^2=29+2\,(-6+8+(-12))=9$$ por consiguiente $$\sqrt{(a+b+c)^2}=\pm \,\sqrt{9}$$ esto es $$a+b+c= \pm\,3$$ Tenemos pues dos valores posibles para la suma pedida: $3$ y $-3$

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Una manera alternativa de resolver este problema consiste en calcular, primero, los valores que pueden tomar $a$, $b$ y $c$, y, a partir del resultado que obtengamos, hallar los posibles valores de la suma $a+b+c$.

Despejando $b$ de $(3)$ se obtiene $b=-\dfrac{12}{c}$. Sustituyendo esta expresión en $(1)$, podemos escribir $a\cdot \left(\dfrac{-12}{c}\right)=-6$, obteniendo que $a=\dfrac{c}{2} \quad (8)$. Entonces, de $(2)$ y $(8)$, se deduce que $c\cdot \dfrac{c}{2}=8$, luego $c^2=16$, y por tanto $c=\pm \sqrt{16}= \pm\,4$

Entonces:

• Para $c=-4$, se tiene que, de $(2)$, $-4\,a=8$ y por tanto $a=-2$; y, de $(3)$: $-4\,b=-12$, con lo cual $b=3$
• Para $c=4$, se tiene que, de $(2)$, $4\,a=8$ y por tanto $a=2$; y, de $(3)$: $4\,b=-12$, con lo cual $b=-3$

Llegamos pues a estas dos soluciones: $$(a,b,c)=\{ (2,-3,4), (-2,3,-4)\}$$ Para la primera terna, la suma pedida tiene el siguiente valor $a+b+c=2+(-3)+4=3$; y, para la segunda terma: $a+b+c=-2+3+(-4)=-3$
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Un interesante desarrollo algebraico de la potencia $(1+\sqrt{2})^{12}$

Se quiere determinar el valor de los números enteros $a$ y $b$ tales que $$(1+\sqrt{2})^{12}=a+b\,\sqrt{2}$$

Denotemos $x=1+\sqrt{2}$. Entonces,
  $x-1=\sqrt{2}$
    $(x-1)^2=(\sqrt{2})^2$
      $(x-1)^2=2$
        $x^2-2x+1=2$
          $x^2=2x+1 \quad (1)$
La cantidad pedida $(1+\sqrt{2})^{12}$ es, por tanto,
  $x^{12}$
    $=(x^2)^6$, y por $(1)$ podemos escribirlo como
      $=(2x+1)^6$
        $=(2x+1)^6$
          $=(4x^2+4x+1)^6$
            $\overset{(1)}{=}(4\,(2x+1)+4x+1)^6$
              $\overset{(1)}{=}(8x+4+4x+1)^6$
                $=(12x+5)^6$
                  $=\left((12x+5)^2\right)^3$
                    $=\left(144x^2 +120x +25\right)^3$
                      $\overset{(1)}{=}\left(144\,(2x+1) +120x +25\right)^3$
                        $=\left(288\,x+144 +120x +25\right)^3$
                          $=\left( 408\,x + 169\right)^3$
                            $=\left( 408\,x + 169\right)^2\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                              $=\left( 408^2\,x^2 + 2\cdot 408\cdot 169\,x + 169^2\right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                $=\left( 166\,464\,x^2 + 137\,904\,x + 28\,561\right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                  $\overset{(1)}{=}\left( 166\,464\cdot (2x+1) + 137\,904\,x + 28\,561\right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                    $\overset{(1)}{=}\left( 166\,464\cdot 2x+166\,464 + 137\,904\,x + 28\,561\right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                    $=\left( 332\,928\,x+166\,464 + 137\,904\,x + 28\,561\right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                  $=\left( 470\,832\,x+195\,025 \right)\cdot \left( 408\,x + 169\right)$
                                $=470\,832\cdot 408\,x^2+(195\,025\cdot 408+470\,832\cdot 169)\,x+195\,025\cdot 169$
                              $=192\,099\,456\,x^2+159\,140\,808\,x+32\,959\,225$
                            $\overset{(1)}{=}192\,099\,456\cdot (2x+1)+159\,140\,808\,x+32\,959\,225$
                          $=192\,099\,456\cdot 2x+ 192\,099\,456 +159\,140\,808\,x+32\,959\,225$
                        $=384\,198\,912\,x+ 192\,099\,456 +159\,140\,808\,x+32\,959\,225$
                      $=543\,339\,720\,x+ 225\,058\,681$
                    $=543\,339\,720\cdot (1+\sqrt{2})+ 225\,058\,681$
                      $=543\,339\,720+543\,339\,720\,\sqrt{2}+ 225\,058\,681$
                    $=768\,398\,401+543\,339\,720\,\sqrt{2} \therefore a=768\,398\,401;\,b=543\,339\,720$
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Un sistema de ecuaciones no lineales fácil de resolver

Se pide que encontremos los valores que pueden tomar $x$ e $y$, tales que $x\neq y$ que sean solución del siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x^2-y=73 & (1)\\y^2-x=73 & (2)\end{matrix}\right.$$

De las dos ecuaciones se sigue que $x^2-y=y^2-x$, entonces:
  $x^2-y-y^2+x=0$
    $(x^2-y^2)+(x-y)=0$
      $(x-y)(x+y)+(x-y)=0$, por la identidad $a^2-a^2=(a-b)(a+b)$
        $(x-y)\left((x+y)+1\right)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-y \Rightarrow x=y & \text{(solución que no nos interesa)} \\ x+y+1=0 \Rightarrow x=-(y+1) & (3) \end{matrix} \right.$

Sustituyendo $(3)$ en $(1)$:
  $(-(y+1))^2-y=73$
    $(y+1)^2-y=73$
      $y^2+2\,y+1-y=73$
        $y^2+y-72=0 \Rightarrow y=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-72)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm \sqrt{289}}{2}=\dfrac{-1\pm 17}{2}=\left\{\begin{matrix} 8 \Rightarrow x=-(8+1)=-9\\ -9 \Rightarrow x=-(-9+1)=8 \end{matrix}\right.$

La solución viene dada pues por $$(x,y)=\{(8,-9), (-9,8)\}$$ $\diamond$

Acerca de la deducción de las fórmulas para resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado

¿De dónde sale el $\pm$ delante de la raíz cuadrada al despejar la incógnita elevada al cuadrado en una ecuación del tipo $x^2=k$ (siendo, desde luego, $k$ un número real no negativo)?

Vamos a resolver la ecuación y enseguida entenderemos el por qué:
  $x^2=k$
    $x^2-k=0$
      $x^2-(\sqrt{k})^2=0$
        $(x-\sqrt{k})(x+\sqrt{k})=0$, por la identidad notable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Entonces,
        $(x-\sqrt{k})(x+\sqrt{k})=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-\sqrt{k}=0 \Rightarrow x=\sqrt{k}\\ x+\sqrt{k}=0 \Rightarrow x=-\sqrt{k} \end{matrix}\right.\quad (1)$

--- Nota: Hay que tener en cuenta que la raíz cuadrada de un número no negativo tiene como imagen (por consenso) un número no negativo (si bien es cierto que el cuadrado del opuesto de tal número (que es negativo) también es igual a dicho cuadrado. --- Pues bien, para expresar el resultado de $(2)$ de manera escueta podemos escribir que $$x=\pm\sqrt{k}$$

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Comentario: Esto nos lleva a entender perfectamente la razón por la cual aparece ese $\pm$ en la famosa fórmula de las ecuaciones de segundo grado completas, $a\,x^2+b\,x+c=0$, siendo los coeficientes $a$, $b$ y $c$ distintos de cero, esto es, $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$. Lo explico a continuación, deduciendo dicha fórmula, paso a paso:
  $a\,x^2+b\,x+c=0$
    $\dfrac{1}{a}\,(a\,x^2+b\,x+c)+\dfrac{1}{a}\cdot 0$
      $\dfrac{1}{a}\cdot a\,x^2+\dfrac{1}{a}\cdot b\,x+\dfrac{1}{a}\cdot c=0$
        $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$
          $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2+\dfrac{c}{a}=0$, donde hemos tenido en cuenta la identidad $(m+n)^2=m^2+2\,m\,n+n^2$
            $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}\right)=0$
              $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)^2=0$
                $\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)\,\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)=0 \Leftrightarrow$
                  $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Rightarrow x+\dfrac{b}{2a} = \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Rightarrow x+\dfrac{b}{2a} = -\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \end{matrix}\right.$
esto es, $$x+\dfrac{b}{2a} = \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}$$ y por tanto,
  $x=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=$
    $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{(2\,a)^2}-\dfrac{c}{a}}$
      $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{2^2\,a^2}-\dfrac{c}{a}}$
        $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{c}{a}}$
          $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{4\,a}{4\,a} \cdot \dfrac{c}{a}}$
            $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{4\,a\,c}{4\,a^2}}$
              $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2-4\,a\,c}{4\,a^2}}$
                $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{\sqrt{4\,a^2}}$
                  $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{\sqrt{(2\,a)^2}}$
                    $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$
                      $=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$

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Un sencillo problema de ordenaciones, teniendo en cuenta el orden en que disponemos los elementos

En un estante para guardar libros disponemos de tres compartimentos. Queremos guardar en dicho estante unos libros de montaña, entre los cuales hay $4$ manuales de escalada en roca, $3$ libros de meteorología de montaña, y $5$ guías de La Pedriza. Deseamos colocar los libros de estos tres grupos de libros, cada uno en uno de los tres compartimentos, pudiendo, en cada grupo, ordenar los libros del mismo tema como mejor nos plazca. ¿Cuántas ordenaciones son posibles?

Cada uno de los tres grupos temáticos podemos ponerlo en cualquiera de los tres compartimentos, lo cual puede hacerse de $3!$ maneras posibles. Por otra parte, podemos ordenar como queramos los libros del mismo grupo temático en el compartimento que hemos elegido para dicho grupo, lo cual podemos hacer de $4!$ maneras posibles para los manuales de escalada en roca, de $3!$ maneras para los libros de meteorología de montaña, y de $5!$ maneras para las guías de La Pedriza. Entonces, por el principio de elecciones independientes, habrá $3!\cdot (4!\cdot 3! \cdot 5!) = 6\cdot\cdot 24 \cdot 6 \cdot 120 = 12\,441\,600$ ordenaciones posibles. $\diamond$

Algunos cálculos en los que hay que ser cuidadosos al aplicar las propiedades de las potencias

Hay que tener cuidado al aplicar las propiedades de las potencias. En los dos ejemplos que siguen, expongo, paso a paso, el cálculo de potencias sucesivas:

1. $3^{3^{3^{2}}}=3^{3^{9}}=3^{19\,683}$. Nota: ésta, por cierto, es una cantidad muy grande, que es del orden de magnitud de $\sim 10^{9\,391}$ (vedlo con WolframAlpha)
2. $\left(2^{2^{2}}\right)^3=2^{2^{2}\cdot 3}=2^{4\cdot 3}=2^{12}=4\,096$
3. $\sqrt{2^{2^{3}}}=\left( 2^{2^{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{2^3\cdot \frac{1}{2}}=2^{8\cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{8}{2}}=2^4=16$
4. $\sqrt{2^{2^{3^{2}}}}=\left( 2^{2^{3^{2}}} \right)^{\frac{1}{2}}= 2^{2^{3^{2}}\cdot \frac{1}{2}}=2^{2^{9}\cdot \frac{1}{2}}=2^{2^{9}\cdot 2^{-1}}=2^{2^{9-1}}=2^{2^{8}}=2^{256}$. Nota: el resulta es otra cantidad muy grande, que es del orden de magnitud de $\sim 10^{77}$ (como podéis comprobar con WolframAlpha)

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Una ecuación exponencial sencilla

En esta breve entrada del blog voy a comentar la resolución de la siguiente ecuación exponencial $$2^{\sqrt{x}}=4$$

En primer lugar, démonos cuenta que, para que la raíz cuadrada esté bien definida, debe cumplirse que $x\ge 0$. Bien, designando $\sqrt{x}$ por $u$, podemos escribir $2^u=4$, esto es, $2^u=2^2$; luego, al ser las potencias de ambos miembros de la misma base, sus exponentes han de ser iguales, por tanto, $u=2$, con lo cual $\sqrt{x}=2 \therefore (\sqrt{x})^2=2^2$ y por consiguiente $x=4$.   $\diamond$

Trigonometría y navegación. Un ejemplo sencillo

En esta entrada el blog voy a exponer un problema de aplicación de la trigonometría elemental a la navegación. Es el siguiente: Partiendo del punto $A$ hemos navegado $2$ millás náuticas (mn) hacia el norte, hasta llegar a un punto $B$; desde éste, navegamos ahora $3$ mn hacia el este, alcanzando un punto $C$. De haber navegado a rumbo directo, de $A$ a $C$, ¿qué rumbo hubiesemos seguido? ¿Qué hubiese sido la distancia navegada?

Observemos que los puntos $A$, $B$ y $C$ corresponden a los vértices de un triángulo rectángulo $\triangle(A,B,C)$, cuyo ángulo recto es $\angle\,ABC$ (de vértice $B$ con lados los segmentos $[A,B]$ y $[B,C]$). La distancia navegada pedida es la longitud de lado que une los vértices $A$ y $C$, que denotamos por $\overline{AC}$, y corresponde a la longitud de la hipotenusa del triángulo; entonces $\overline{AC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\,\text{mn}$.

Observación: Notemos que si decidimos navegar por tramos de $A$ a $C$, es decir de $A$ a $B$ y, finalmente, de $B$ a $C$, la distancia navegada será mayor (desigualdad triangular), es decir $\overline{AB}+\overline{BC}=2+3=5 \gt \overline{AC}=\sqrt{13} \,\text{mn}$

Bien, sólo nos queda calcular el rumbo directo (de $A$ a $C$), que denotamos por $R_{A\rightarrow C}$. Dicho rumbo corresponde al ángulo $\measuredangle{BCA}$ (con vértice el punto de llegada $C$ y lados los segmentos $[A,B]$ y $[B,C]$) —si hacéis el pequeño esfuerzo de dibujar la figura, lo veréis bien claro—. Entonces, por la trigonometría elemental, podemos escribir $R_{A\rightarrow C}=\text{arctan}(\dfrac{2}{3}) \approx 33,7^{\circ} \approx 034^\circ$

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Nota: Los rumbos en navegación, de $000^\circ$ a $360^\circ$ (una vuelta completa), y que se redondean al grado cuando se gobierna con el compás de navegación (al timón), recorren los cuatro cuadrantes en el sentido de las agujas del reloj (al revés que en trigonometría): los rumbos del primer cuadrante van de $000^\circ$ (rumbo Norte) a $090^\circ$ (rumbo Este); los del segundo cuadrante van de $090^\circ$ (rumbo Este) a $180^\circ$ (rumbo Sur); los del tercer cuadrante, de $180^\circ$ (rumbo Sur) a $270^\circ$ (rumbo Oeste), y los del cuarto cuadrante, de $270^\circ$ (rumbo Oeste) a $360^\circ$ (rumbo Norte).

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Un ejercicio de resolución de una ecuación polinómica de tercer grado muy sencilla

En este ejercicio voy a obtener los números reales que satisfacen la igualdad $x^3-x=0$, recurriendo a las propiedades básicas del álgebra.

  $x^3-x=0$
    $x\,(x^2-1)=0$
      $x\,(x^2-1^2)=0$, y por la identidad $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, se tiene que
        $x\,(x+1)(x-1)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ x+1=0 \Leftrightarrow x=-1 \\ x-1=0 \Leftrightarrow x=1 \end{matrix}\right.$
Luego el conjunto pedido es $\{-1,0,1\}$

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Una ejercicio sobre la resolución de una cierta ecuación polinómica de cuarto grado

$(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)=80$
  $((x+5)(x+2))((x+4)(x+3))=80$
    $(x^2+7x+14)(x^2+7x+12)=80$
      $(x^2+7x+13+1)(x^2+7x+13-1)=80$
        $((x^2+7x+13)+1)((x^2+7x+13)-1)=80$
          $(u+1)(u-1)=80 \because u:=x^2+7x+13$
            $u^2-1^2=80$
              $u^2-1=80$
                $u^2=80+1$
                  $u^2=81$
                    $u=\pm\sqrt{81}$
                      $u=\pm 9 \therefore x^2+7x+13=\left\{\begin{matrix}-9 & (i)\\9 & (ii)\end{matrix}\right. $
Entonces,
  $(i)$ $x^2+7x+13=-9$
    $x^2+7x+22=0$ no tiene solución en $\mathbb{R}$ $\because \Delta=7^2-4\cdot 1\cdot 22 \lt 0$
  $(ii)$ $x^2+7x+13=9$
    $x^2+7x+4=0$ sí tiene solución en $\mathbb{R}$ $\because \Delta=7^2-4\cdot 1\cdot 4 = 33 \gt 0$ con lo cual, encontraremos dos valores reales distintos en la solución:
      $x=\dfrac{-7\pm \sqrt{33}}{2\cdot 1}$, esto es, la solución de la ecuación polinómica de cuarto grado propuesta consta sólo dos valores reales: $\left\{\begin{matrix}x_1=\dfrac{-7 + \sqrt{33}}{2}\lt 0 \\ x_2= \dfrac{-7 - \sqrt{33}}{2}\lt 0\end{matrix}\right.$
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Acerca de cómo utilizar las fracciones para manejar un cabezal divisor de precisión en una fresadora, de enorme importancia, por ejemplo, para fresar los dientes de un engranaje

Una fresadora dispone de un cabezal giratorio para realizar divisiones equiespaciadas de gran precisión, que, por ejemplo, sirve para fresar los dientes de los engranajes.

Ejemplo de un engranaje recto

Ejemplo de una fresa módulo para tallar engranajes

Está formado por mecanismo que consta de un conjunto de tres platos intercambiables, cada uno con el número de agujeritos que se muestra en la tabla de abajo. Por otra parte, el husillo del sistema giratorio es tal que mediante $40$ vueltas enteras de la manivela el sistema da $1$ vuelta entera. Queremos fresar los dientes de un engranaje recto que consta de $Z=26$ dientes. Para pasar de un diente a otro, ¿cuál es el número de vueltas enteras y la fracción de vuelta (en el plato apropiado), $d$, que deberemos dar con la manivela del mecanismo divisor?.

Observación importante: Notemos que de querer hacer las divisiones con un simple indicador goniométrico, incluso con el correspondiente nonio, la precisión que éste puede proporcionar es insuficiente, en efecto, el ángulo central entre diente y diente para un engranaje como el supuesto, de $26$ dientes, es igual a $\dfrac{360^\circ}{26}=13^\circ\,50'\,46,15^{''}$: el error que se iría acumulando entre división y división sería excesivo, y el tallaje saldría mal.

[Créditos de esta imagen]

           número de agujeros equiespaciados
plato A        15  16  17  18  19  20
plato B        21  23  27  29  31  33
plato C        37  39  41  43  47  49

De acuerdo con lo explicado en el enunciado, y en buena lógica, tenemos que calcular $d_Z:=\dfrac{40}{Z}$. Entonces, $d_{26}=\dfrac{40}{26}=1+\dfrac{14}{26}=1+\dfrac{7}{13}=1+\dfrac{21}{39}$. Para ocuparnos de la fracción de vuelta podemos colocar el plato C, de tal manera que, daremos $1$ vuelta completa al husillo más una fracción de vuelta que corresponde a desplazar $21$ agujeros del círculo que consta de un total de $39$ agujeritos.

En la siguiente imagen se muestra la máquina herramienta fresadora universal:

[Créditos de la imagen: Tecnomaquinaria]

Observación: En el caso de no encontrar una combinación válida entre el conjunto de platos con sus correspondientes círculos de agujeros, deberíamos recurrir a añadir un tren de engranajes que conecte el movimiento del eje de la manivela del divisor con el eje paralelo de la plataforma giratoria, con la relación necesaria entre ellos, para poder realizar lo que se conoce como división diferencial. El plato divisor que se utiliza para ello se denomina plato divisor universal. Sin embargo, no voy a profundizar en este aspecto de la cuestión, que, por lo demás, es sumamente interesante. En la siguiente imagen, aparece el tren de engranajes al que me refiero, colocado en el cabezal divisor.

A modo de ampliación, y para las personas que tengáis inquietudes sobre el tema (mecanización, ingeniería mecánica,...), he ampliado este artículo en mi blog >i>Un pequeño taller [https://unpequenotaller.blogspot.com/2024/02/fracciones-de-vuelta-en-un-mecanismo.html] en el que explico cómo se realiza la división diferencial, con un ejemplo práctico.

Créditos de la imagen: Monografías

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Razón de los radios de dos esferas a partir de la razón de sus volúmenes

Consideremos dos esferas, una más grande que la otra: el volumen de la mayor es veintisiete veces el volumen de la menor. Nos preguntamos, cuál es la razón entre el diámetro de la mayor y el diámetro de la menor.

Sabemos que el volumen de una esfera es proporcional al cubo del radio: $V\propto r^3$. Denotemos por $V_1$ y por $r_1$ el volumen y el radio de la esfera mayor, y por $V_2$ y $r_2$ el volumen y el radio de la menor. Tendremos también en cuenta que $r_1=d_{1}/2$ y $r_2=d_{2}/2$, siendo $d_1$ y $d_2$ los respectivos diámetros. Entonces, según el enunciado $\dfrac{V_1}{V_2}=27$, y, por otra parte, sabemos que $\dfrac{V_1}{V_2} \propto \dfrac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3$; por consiguiente, $=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3=27=3^3 \Rightarrow \dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{d_1/2}{d_2/2}=\dfrac{d_1}{d_2}=\sqrt[3]{3^3}= 3$

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Un ejercicio de demostración sobre logaritmos

Se nos pide que, siendo $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{b}{a}$ y $k$ números reales positivos, demostremos que $$\log_k\,\left(\dfrac{a}{b}\right)+\log_k\,\left(\dfrac{b}{a}\right)=0$$

Demostrémoslo:
  $\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(\frac{b}{a})=$
    $=\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(\frac{1}{\frac{a}{b}})$
      $=\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(1) - \log_k\,(\frac{a}{b})$
        $=\log_k\,(\frac{a}{b})+0- \log_k\,(\frac{a}{b})$
          $=\log_k\,(\frac{a}{b})-\log_k\,(\frac{a}{b})$
          $=0$

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Manejo de los logaritmos para resolver ecuaciones con términos exponenciales

Nos piden que resolvamos la siguiente ecuación en el conjunto de los números reales: $$2^x=5$$

Esta vez, y para mostrar cómo podemos hacer las cosas de varias maneras, no vamos a extraer logaritmos en cada miembro de manera directa (tal como se ha hecho en el artículo precedente), sino que, teniendo en cuenta que, si los dos miembros de la ecuación fuesen potencias de la misma base, bastaría con igualar los exponentes y despejar la incógnita, llegaremos también así al mismo resultado (con la aparición de los logaritmos, al final). Vamos a hacer alguna transformación para que podamos aplicar esta idea: como $2=e^{\ln\,(2)}$ y $5=e^{\ln\,(5)}$ —$\ln\,(.)$ denota el logaritmo en base $e$, esto es, $\ln\,(.)\equiv \log_e\,(.)$—, podemos escribir la ecuación de manera equivalente de la forma:
  $\left( e^{\ln\,(2)} \right)^x = e^{\ln\,(5)} $
    $e^{x\,\ln\,(2)} = e^{\ln\,(5)}$, con lo cual,
      $x\,\ln\,(2)=\ln\,(5)$
        $x=\dfrac{\ln\,(5)}{\ln\,(2)}$, que, si se quiere, también podemos expresarlo de la forma:
          $x=\log_{2}\,(5)$

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Resolución de ecuaciones exponenciales mediante logaritmos

¿Qué valor (o valores) de $x \in \mathbb{R}$ cumplen la siguiente ecuación?: $$2^{\sqrt{x}}=3$$

Tendremos que utilizar logaritmos para despejar la incógnita:
  $2^{\sqrt{x}}=3$
    $\ln\,\left(2^{\sqrt{x}}\right)=\ln\,(3)$
      $\sqrt{x}\cdot \ln\,(2)=\ln\,(3)$
        $\sqrt{x}=\dfrac{\ln\,(3)}{\ln\,(2)}$
          $(\sqrt{x})^2=\left(\dfrac{\ln\,(3)}{\ln\,(2)}\right)^2$
            $x=\left(\dfrac{\ln\,(3)}{\ln\,(2)}\right)^2$
              $x=\dfrac{(\ln\,(3))^2}{(\ln\,(2))^2}$

Nota: Cuidado: $(\ln\,(a))^b \neq \ln\,(a^b)$, por lo que no podemos simplificar más la última línea.

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Cosas que parecen muy difíciles, pero que no lo son tanto

Voy a resolver una ecuación que parece muy complicada, pero que, como veréis, se resuelve fácilmente si nos fijamos bien en la descomposición en factores primos del miembro de la derecha: $$x^{x^{x}}=16$$

Descomponiendo en factores primos el segundo miembro: $16=2^4$, por lo tanto
  $x^{x^{x}}=2^4$, y como $4=2^2$, se tiene que
    $x^{x^{x}}=2^{2^{2}} \Leftrightarrow x=2$

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Factorización directa de ciertos polinomios

A la hora de factorizar un polinomio, el siguiente ejemplo viene bien para hablar de ciertas situaciones en las que no es necesario encontrar primero las raíces del polinomio para poder factorizarlo después: a veces podemos factorizarlo directamente; simplemente, haciendo unos arreglos algebraicos, para, extrayendo factor común y utilizando acaso alguna identidad notable, poder reexpresarlo de manera equivalente de modo que se vea cuál es la factorización sin mucho esfuerzo. Y, claro, ni que decir tiene que las raíces también acabermos conociéndolas, pero después de haber efectuado la factorización. Veámoslo con el polinomio $P(x)=x^3-3x-2$, paso a paso:

$P(x)=x^3-3x-2$
  $=x^3-4x+x-2$
    $=x\,(x^2-4)+x-2$, y habida cuenta de la identidad notable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, donde $a:=x$ y $b:=2$, se tiene que
      $=x\,(x+2)(x-2)+x-2$
        $=(x-2)\,\left(x\,(x+2)+1\right)$
          $=(x-2)\,(x^2+2x+1)$, y habida cuenta de la identidad notable $(c+d)^2=c^2+2cd+d^2$, donde $c:=x$ y $d:=1$, se tiene que
            $=(x-2)\,(x+1)^2$

--- Comentario: No os preocupéis si encontráis al principio estas técnicas un poco rebuscadas; la práctica con los cálculos algebraicos permite, con paciencia y poco a poco, adquirir hábitos y habilidades —se parece un poco a como una persona aficionada al ejedrez aprende a anticipar algunos movimientos—, que, dicho de pasado, pueden llegar a ser muy útiles en muchos cálculos. --- Nota: Obsérvese que del polinomio factorizado, se desprenden las raíces de $P(x)$ sin hacer ningún cálculo, que son: $2$ (con multiplicidad $1$) y $-1$ (ya que $x+1=x-(-1)$, que se anula para $x=-1$) con multiplicidad $2$ (el factor de la potencia del binomio de base $x+1$). En efecto, ambos valores anulan el polinomio: $P(2)=2^3-3\cdot 2-2=0$ y $P(-1)=(-1)^3-3\cdot (-1)-2=0$. --- Observación: Recordemos que las raíces de $P(x)$ son las soluciones de la ecuación $P(x)=0$, por lo que, lo que hemos hecho, también serviría para resolver directamente la ecuación polinómica $x^3-3x-2=0$. $\diamond$

Álgebra elemental con una ecuación no polinómica sencilla. Aplicación de las propiedades elementales de las potencias

En este artículo voy a resolver la siguiente ecuación, paso a paso, empleando las propiedades básicas de las potencias: $$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=2^x$$

$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=2^x$
  $\sqrt{2\sqrt{2\cdot 2^{\frac{1}{2}}}}=2^x$
    $\sqrt{2\sqrt{2^{1+\frac{1}{2}}}}=2^x$
      $\sqrt{2\sqrt{2^{\frac{3}{2}}}}=2^x$
        $\sqrt{2\sqrt{2^{\frac{3}{2}}}}=2^x$
          $\sqrt{2 \cdot \left( 2^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}=2^x$
            $\sqrt{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}}=2^x$
              $\sqrt{2\cdot 2^{\frac{3}{4}}}=2^x$
                $\sqrt{2^{1+\frac{3}{4}}}=2^x$
                  $\sqrt{2^{\frac{7}{4}}}=2^x$
                    $\left(2^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^x$
                      $2^{\frac{7}{4}\cdot \frac{1}{2}}=2^x$
                        $2^{\frac{7}{8}}=2^x \Leftrightarrow x=\dfrac{7}{8}$
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Una ecuación no polinómica muy interesante y resoluble mediante las técnicas básicas

En este breve artículo voy a mostrar cómo puede resolverse una ecuación no polinómica, que, de entrada, tal vez asuste un poco, $$2^x=x^2$$ pero que sin embargo, veremos que podemos encontrar la solución con técnicas elementales propias de este curso, una vez hayamos realizado la manipulación algebraica que utilizaremos en la segunda línea del desarrollo:

$2^x=x^2$
  $(2^x)^{\frac{1}{2x}}=(x^2)^\frac{1}{2x}$ (elevamos ambos miembros al mismo exponente, $\frac{1}{2x}$, lo cual constituye, como veremos enseguida, el paso clave del ejercicio), pues al simplificar, nos queda lo siguiente:
    $2^{\frac{1}{2}}=x^\frac{1}{x}$

Llegados a este punto, es evidente que la igualdad se cumple si $x=2$, pero ojo, éste no es ése el único valor que podemos encontrar; en efecto, si nos fijamos en el primer miembro de la ecuación equivalente que hemos escrito en el paso clave, $2^\frac{1}{2}$ (que, desde luego, es igual al valor del segundo miembro para el valor que hemos encontrado, $x=2$), debemos reparar en el hecho de que $2^\frac{1}{2}$ es lo mismo que $ \left(2^\frac{2}{2}\right)^\frac{1}{2}=\left(\left(2^2\right)^{\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{2}=4^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=4^\frac{1}{4}$, luego $x=4$ satisface también la ecuación, pues el valor numérico de ambos miembros coincide. Por supuesto, el darnos cuenta de este detallito constituye la segunda dificultad a la hora de encontrar la solución completa a la ecuación.

Así pues, la solución de la ecuación propuesta se compone de estos dos valores, $x_1=2$ y $x_2=4$. Podemos comprobar que al sustituir uno y otro en la igualdad algebraica dan lugar a la igualdad numérica de sendos miembros de la misma:
Comprobación de $x_1=2$:
  $2^2=2^2=4$
Comprobación de $x_2=4$:
  $2^4\overset {?}{=}4^2$
en efecto,
$2^4=16=4^2$
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Peculiaridades de algunas ecuaciones polinómicas de segundo grado

Algunas ecuaciones polinómicas de segundo grado, escritas de la forma $ax^2+b\,x+c=0$, son muy sencillas de resolver, pues fácilmente uno entrevé cómo factoriza el polinomio del primer miembro, y, ya a partir de ahí, se ven cláramente cuáles son las raíces de los binomios de primer grado (factores), que son los valores de la solución; en concreto, me refiero a los casos en los que el término independiente se pueda expresar de la forma $c=p\cdot q$, de tal manera, que $b=p+q$. Veamos el siguiente ejemplo: $x^2+4\,x-21=0$

Podemos escribir la ecuación de la forma $x^2+4x+(-21)=0$, para aclarar que $c=-21$ y $b=4$. Observemos que para esta ecuación se dan las condiciones comentadas: $c=-21=7\cdot (-3)$, y b=4=7+(-3)$.

Entonces,
  $x^2+4x+(-21)=0$
    $x^2+7\,x+(-3)\,x+(-21)=0$
      $x\,(x+7)-3\,(x+7)=0$
        $(x+7)\,(x-3)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+7=0 \\ x-3 =0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-7 \\ 3 \end{matrix}\right.$
Así pues, la solución se compone de los siguientes valores: $$\{-7, 3\}$$ $\diamond$