Algunos cálculos en los que hay que ser cuidadosos al aplicar las propiedades de las potencias

Hay que tener cuidado al aplicar las propiedades de las potencias. En los dos ejemplos que siguen, expongo, paso a paso, el cálculo de potencias sucesivas:

1. $3^{3^{3^{2}}}=3^{3^{9}}=3^{19\,683}$. Nota: ésta, por cierto, es una cantidad muy grande, que es del orden de magnitud de $\sim 10^{9\,391}$ (vedlo con WolframAlpha)
2. $\left(2^{2^{2}}\right)^3=2^{2^{2}\cdot 3}=2^{4\cdot 3}=2^{12}=4\,096$
3. $\sqrt{2^{2^{3}}}=\left( 2^{2^{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{2^3\cdot \frac{1}{2}}=2^{8\cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{8}{2}}=2^4=16$
4. $\sqrt{2^{2^{3^{2}}}}=\left( 2^{2^{3^{2}}} \right)^{\frac{1}{2}}= 2^{2^{3^{2}}\cdot \frac{1}{2}}=2^{2^{9}\cdot \frac{1}{2}}=2^{2^{9}\cdot 2^{-1}}=2^{2^{9-1}}=2^{2^{8}}=2^{256}$. Nota: el resulta es otra cantidad muy grande, que es del orden de magnitud de $\sim 10^{77}$ (como podéis comprobar con WolframAlpha)

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