Razón de los radios de dos esferas a partir de la razón de sus volúmenes

Consideremos dos esferas, una más grande que la otra: el volumen de la mayor es veintisiete veces el volumen de la menor. Nos preguntamos, cuál es la razón entre el diámetro de la mayor y el diámetro de la menor.

Sabemos que el volumen de una esfera es proporcional al cubo del radio: $V\propto r^3$. Denotemos por $V_1$ y por $r_1$ el volumen y el radio de la esfera mayor, y por $V_2$ y $r_2$ el volumen y el radio de la menor. Tendremos también en cuenta que $r_1=d_{1}/2$ y $r_2=d_{2}/2$, siendo $d_1$ y $d_2$ los respectivos diámetros. Entonces, según el enunciado $\dfrac{V_1}{V_2}=27$, y, por otra parte, sabemos que $\dfrac{V_1}{V_2} \propto \dfrac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3$; por consiguiente, $=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3=27=3^3 \Rightarrow \dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{d_1/2}{d_2/2}=\dfrac{d_1}{d_2}=\sqrt[3]{3^3}= 3$

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