En este breve artículo voy a mostrar cómo puede resolverse una ecuación no polinómica, que, de entrada, tal vez asuste un poco, $$2^x=x^2$$ pero que sin embargo, veremos que podemos encontrar la solución con técnicas elementales propias de este curso, una vez hayamos realizado la manipulación algebraica que utilizaremos en la segunda línea del desarrollo:
$2^x=x^2$
$(2^x)^{\frac{1}{2x}}=(x^2)^\frac{1}{2x}$ (elevamos ambos miembros al mismo exponente, $\frac{1}{2x}$, lo cual constituye, como veremos enseguida, el paso clave del ejercicio), pues al simplificar, nos queda lo siguiente:
$2^{\frac{1}{2}}=x^\frac{1}{x}$
Llegados a este punto, es evidente que la igualdad se cumple si $x=2$, pero ojo, éste no es ése el único valor que podemos encontrar; en efecto, si nos fijamos en el primer miembro de la ecuación equivalente que hemos escrito en el paso clave, $2^\frac{1}{2}$ (que, desde luego, es igual al valor del segundo miembro para el valor que hemos encontrado, $x=2$), debemos reparar en el hecho de que $2^\frac{1}{2}$ es lo mismo que $ \left(2^\frac{2}{2}\right)^\frac{1}{2}=\left(\left(2^2\right)^{\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{2}=4^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=4^\frac{1}{4}$, luego $x=4$ satisface también la ecuación, pues el valor numérico de ambos miembros coincide. Por supuesto, el darnos cuenta de este detallito constituye la segunda dificultad a la hora de encontrar la solución completa a la ecuación.
Así pues, la solución de la ecuación propuesta se compone de estos dos valores, $x_1=2$ y $x_2=4$. Podemos comprobar que al sustituir uno y otro en la igualdad algebraica dan lugar a la igualdad numérica de sendos miembros de la misma:
Comprobación de $x_1=2$:
$2^2=2^2=4$
Comprobación de $x_2=4$:
$2^4\overset {?}{=}4^2$
en efecto,
$2^4=16=4^2$
$\diamond$
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios