Factorización directa de ciertos polinomios

A la hora de factorizar un polinomio, el siguiente ejemplo viene bien para hablar de ciertas situaciones en las que no es necesario encontrar primero las raíces del polinomio para poder factorizarlo después: a veces podemos factorizarlo directamente; simplemente, haciendo unos arreglos algebraicos, para, extrayendo factor común y utilizando acaso alguna identidad notable, poder reexpresarlo de manera equivalente de modo que se vea cuál es la factorización sin mucho esfuerzo. Y, claro, ni que decir tiene que las raíces también acabermos conociéndolas, pero después de haber efectuado la factorización. Veámoslo con el polinomio $P(x)=x^3-3x-2$, paso a paso:

$P(x)=x^3-3x-2$
  $=x^3-4x+x-2$
    $=x\,(x^2-4)+x-2$, y habida cuenta de la identidad notable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, donde $a:=x$ y $b:=2$, se tiene que
      $=x\,(x+2)(x-2)+x-2$
        $=(x-2)\,\left(x\,(x+2)+1\right)$
          $=(x-2)\,(x^2+2x+1)$, y habida cuenta de la identidad notable $(c+d)^2=c^2+2cd+d^2$, donde $c:=x$ y $d:=1$, se tiene que
            $=(x-2)\,(x+1)^2$

--- Comentario: No os preocupéis si encontráis al principio estas técnicas un poco rebuscadas; la práctica con los cálculos algebraicos permite, con paciencia y poco a poco, adquirir hábitos y habilidades —se parece un poco a como una persona aficionada al ejedrez aprende a anticipar algunos movimientos—, que, dicho de pasado, pueden llegar a ser muy útiles en muchos cálculos. --- Nota: Obsérvese que del polinomio factorizado, se desprenden las raíces de $P(x)$ sin hacer ningún cálculo, que son: $2$ (con multiplicidad $1$) y $-1$ (ya que $x+1=x-(-1)$, que se anula para $x=-1$) con multiplicidad $2$ (el factor de la potencia del binomio de base $x+1$). En efecto, ambos valores anulan el polinomio: $P(2)=2^3-3\cdot 2-2=0$ y $P(-1)=(-1)^3-3\cdot (-1)-2=0$. --- Observación: Recordemos que las raíces de $P(x)$ son las soluciones de la ecuación $P(x)=0$, por lo que, lo que hemos hecho, también serviría para resolver directamente la ecuación polinómica $x^3-3x-2=0$. $\diamond$