Trigonometría y navegación. Un ejemplo sencillo

En esta entrada el blog voy a exponer un problema de aplicación de la trigonometría elemental a la navegación. Es el siguiente: Partiendo del punto $A$ hemos navegado $2$ millás náuticas (mn) hacia el norte, hasta llegar a un punto $B$; desde éste, navegamos ahora $3$ mn hacia el este, alcanzando un punto $C$. De haber navegado a rumbo directo, de $A$ a $C$, ¿qué rumbo hubiesemos seguido? ¿Qué hubiese sido la distancia navegada?

Observemos que los puntos $A$, $B$ y $C$ corresponden a los vértices de un triángulo rectángulo $\triangle(A,B,C)$, cuyo ángulo recto es $\angle\,ABC$ (de vértice $B$ con lados los segmentos $[A,B]$ y $[B,C]$). La distancia navegada pedida es la longitud de lado que une los vértices $A$ y $C$, que denotamos por $\overline{AC}$, y corresponde a la longitud de la hipotenusa del triángulo; entonces $\overline{AC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\,\text{mn}$.

Observación: Notemos que si decidimos navegar por tramos de $A$ a $C$, es decir de $A$ a $B$ y, finalmente, de $B$ a $C$, la distancia navegada será mayor (desigualdad triangular), es decir $\overline{AB}+\overline{BC}=2+3=5 \gt \overline{AC}=\sqrt{13} \,\text{mn}$

Bien, sólo nos queda calcular el rumbo directo (de $A$ a $C$), que denotamos por $R_{A\rightarrow C}$. Dicho rumbo corresponde al ángulo $\measuredangle{BCA}$ (con vértice el punto de llegada $C$ y lados los segmentos $[A,B]$ y $[B,C]$) —si hacéis el pequeño esfuerzo de dibujar la figura, lo veréis bien claro—. Entonces, por la trigonometría elemental, podemos escribir $R_{A\rightarrow C}=\text{arctan}(\dfrac{2}{3}) \approx 33,7^{\circ} \approx 034^\circ$

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Nota: Los rumbos en navegación, de $000^\circ$ a $360^\circ$ (una vuelta completa), y que se redondean al grado cuando se gobierna con el compás de navegación (al timón), recorren los cuatro cuadrantes en el sentido de las agujas del reloj (al revés que en trigonometría): los rumbos del primer cuadrante van de $000^\circ$ (rumbo Norte) a $090^\circ$ (rumbo Este); los del segundo cuadrante van de $090^\circ$ (rumbo Este) a $180^\circ$ (rumbo Sur); los del tercer cuadrante, de $180^\circ$ (rumbo Sur) a $270^\circ$ (rumbo Oeste), y los del cuarto cuadrante, de $270^\circ$ (rumbo Oeste) a $360^\circ$ (rumbo Norte).

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