Un problema con números enteros

A partir de la siguiente información:

$$\left\{\begin{matrix}a\,b=-6 & (1) \\ a\,c=8 & (2) \\ b\,c=-12 & (3)\end{matrix}\right.$$ donde $a,b$ y $c$ son números enteros distintos de cero, se pide que calculemos los valores que puede tomar la suma $a+b+c$

Multiplicando $(1)$ por $(2)$ y dividiendo por $(3)$, miembro a miembro, se obtiene:

$$\dfrac{(a\,b)\cdot (a\,c)}{b\,c}=a^2=\dfrac{-6\cdot 8}{-10}=4 \quad (5)$$

Multiplicando $(1)$ por $(3)$ y dividiendo por $(2)$, miembro a miembro, se obtiene:

$$\dfrac{(a\,b)\cdot (b\,c)}{a\,c}=b^2=\dfrac{-6\cdot (-12)}{8}=9 \quad (6)$$

Multiplicando $(2)$ por $(3)$ y dividiendo por $(1)$, miembro a miembro, se obtiene:

$$\dfrac{(a\,c)\cdot (b\,c)}{a\,b}=c^2=\dfrac{8\cdot (-12)}{-6}=16 \quad (7)$$

Sumando $(5)$, $(6)$ y $(7)$, miembro a miembro, vemos que

$$a^2+b^2+c^2=4+9+16=29 \quad (8)$$

Por otra parte, para cualesquiera $m,n,p$, números reales, conocemos la siguiente identidad:

$$(m+n+p)^2=m^2+n^2+p^2+2\,(m\,n+m\,p+n\,p)$$ por consiguiente, en nuestro caso, $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2\,(a\,b+a\,c+b\,c)$$ y teniendo en cuenta $(1)$, $(2)$, $(3)$ y $(8)$ podemos escribir que $$(a+b+c)^2=29+2\,(-6+8+(-12))=9$$ por consiguiente $$\sqrt{(a+b+c)^2}=\pm \,\sqrt{9}$$ esto es $$a+b+c= \pm\,3$$ Tenemos pues dos valores posibles para la suma pedida: $3$ y $-3$

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Una manera alternativa de resolver este problema consiste en calcular, primero, los valores que pueden tomar $a$, $b$ y $c$, y, a partir del resultado que obtengamos, hallar los posibles valores de la suma $a+b+c$.

Despejando $b$ de $(3)$ se obtiene $b=-\dfrac{12}{c}$. Sustituyendo esta expresión en $(1)$, podemos escribir $a\cdot \left(\dfrac{-12}{c}\right)=-6$, obteniendo que $a=\dfrac{c}{2} \quad (8)$. Entonces, de $(2)$ y $(8)$, se deduce que $c\cdot \dfrac{c}{2}=8$, luego $c^2=16$, y por tanto $c=\pm \sqrt{16}= \pm\,4$

Entonces:

• Para $c=-4$, se tiene que, de $(2)$, $-4\,a=8$ y por tanto $a=-2$; y, de $(3)$: $-4\,b=-12$, con lo cual $b=3$
• Para $c=4$, se tiene que, de $(2)$, $4\,a=8$ y por tanto $a=2$; y, de $(3)$: $4\,b=-12$, con lo cual $b=-3$

Llegamos pues a estas dos soluciones: $$(a,b,c)=\{ (2,-3,4), (-2,3,-4)\}$$ Para la primera terna, la suma pedida tiene el siguiente valor $a+b+c=2+(-3)+4=3$; y, para la segunda terma: $a+b+c=-2+3+(-4)=-3$
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