Algunos cálculos en los que hay que ser cuidadosos al aplicar las propiedades de las potencias

Hay que tener cuidado al aplicar las propiedades de las potencias. En los dos ejemplos que siguen, expongo, paso a paso, el cálculo de potencias sucesivas:

1. $3^{3^{3^{2}}}=3^{3^{9}}=3^{19\,683}$. Nota: ésta, por cierto, es una cantidad muy grande, que es del orden de magnitud de $\sim 10^{9\,391}$ (vedlo con WolframAlpha)
2. $\left(2^{2^{2}}\right)^3=2^{2^{2}\cdot 3}=2^{4\cdot 3}=2^{12}=4\,096$
3. $\sqrt{2^{2^{3}}}=\left( 2^{2^{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{2^3\cdot \frac{1}{2}}=2^{8\cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{8}{2}}=2^4=16$
4. $\sqrt{2^{2^{3^{2}}}}=\left( 2^{2^{3^{2}}} \right)^{\frac{1}{2}}= 2^{2^{3^{2}}\cdot \frac{1}{2}}=2^{2^{9}\cdot \frac{1}{2}}=2^{2^{9}\cdot 2^{-1}}=2^{2^{9-1}}=2^{2^{8}}=2^{256}$. Nota: el resulta es otra cantidad muy grande, que es del orden de magnitud de $\sim 10^{77}$ (como podéis comprobar con WolframAlpha)

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Cosas que parecen muy difíciles, pero que no lo son tanto

Voy a resolver una ecuación que parece muy complicada, pero que, como veréis, se resuelve fácilmente si nos fijamos bien en la descomposición en factores primos del miembro de la derecha: $$x^{x^{x}}=16$$

Descomponiendo en factores primos el segundo miembro: $16=2^4$, por lo tanto
  $x^{x^{x}}=2^4$, y como $4=2^2$, se tiene que
    $x^{x^{x}}=2^{2^{2}} \Leftrightarrow x=2$

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Tarea de progresión número 1 de la semana del 12 al 18 de octubre

Ejercicio número 57 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla el valor de $x$:
a) $2^5=x$
b) $x^{-1}=2$
c) $2^x=\dfrac{1}{8}$

SOLUCIÓN.
a)
$2^5=32$, luego $x=32$
b)
$x^{-1}=2$   $\dfrac{1}{x}=2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$
c)
$2^x=\dfrac{1}{8}$
  $2^x=\dfrac{1}{2^3}$
    $2^x=2^{-3} \Rightarrow x=-3$

$\square$

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Ejercicio número 58 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla el valor de $x$:
a) $2^{-3}=x$
b) $x^3=8$
c) $2^x=\dfrac{1}{4}$

SOLUCIÓN.
a)
$2^{-3}=x$
  $x=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$
b)
$x^3=8$
  $x=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$
c)
$2^x=\dfrac{1}{4}$
  $2^x=\dfrac{1}{2^2}$
    $2^x=2^{-2} \Rightarrow x=-2$


$\square$

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Ejercicio número 59 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora:
a) $\log_{10}\,1000$
b) $\log_{10}\,1$
c) $\log_{10}\,10^{-6}$
NOTA. Se suele notar $\log\,(.)$ como una abreviación de $\log_{10}\,(.)$
SOLUCIÓN.
a)
$\log_{10}\,1000=\log_{10}\,10^3=3\cdot \log_{10}\,10=3\cdot 1 =3$
b)
$\log_{10}\,1=\log_{10}\,10^0=0\cdot \log_{10}\,10=0\cdot 1 =0$
c)
$\log_{10}\,10^{-6}=-6\cdot \log_{10}\,10=-6\cdot 1=-6$


$\square$

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Ejercicio número 60 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora:
a) $\log_{2}\,32$
b) $\log_{2}\,1$
c) $\log_{2}\,\dfrac{1}{8}$

SOLUCIÓN.
a) $\log_{2}\,32=\log_{2}\,2^5=5\cdot \log_{2}\,2=5\cdot 1=5$

b) $\log_{2}\,1=\log_{2}\,2^0=0\cdot \log_{2}\,2=0\cdot 1=0$

c) $\log_{2}\,\dfrac{1}{8}=\log_{2}\,\dfrac{1}{2^3}=\log_{2}\,2^{-3}=-3\cdot \log_{2}\,2=-3\cdot 1=-3$

$\square$

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Ejercicio número 61 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos ( aproximando por redondeo hasta la cuarta cifra decimal):
a) $\log_{10}\,405,75$
b) $\log_{10}\,1,9$
c) $\log_{10}\,0,0005$

SOLUCIÓN.
a) $\log_{10}\,405,75\approx 2,6083$
b) $\log_{10}\,1,9\approx 0,2788$
a) $\log_{10}\,0,0005\approx -3,3010$

$\square$

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Ejercicio número 62 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos ( aproximando por redondeo hasta la cuarta cifra decimal):
a) $\ln\,5$
b) $\ln\,25,8$
c) $\ln\,0,034$
NOTA. $\ln\,(.)$ es una abreviación de $\log_{e}\,(.)$

SOLUCIÓN.
a) $\ln\,5 \approx 1,6094$
b) $\ln\,25,8 \approx 3,2504$
c) $\ln\,0,034 \approx -3,3814$

$\square$

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Ejercicio número 66 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe en forma radical las siguientes potencias y halla el resultado sin utilizar la calculadora:
a) $8^{1/3}$
b) $9^{-1/2}$
c) $25^{3/2}$
d) $8^{2/3}$

SOLUCIÓN.
a) $8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$
b) $9^{-1/2}\sqrt[3]{8}=\sqrt{9^{-1}}=\sqrt{(3^2)^{-1}}=\sqrt{3^{-2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3^{2}}}=\dfrac{1}{3}$
c) $25^{3/2}=\sqrt[2]{25^3}=\sqrt[2]{(5^2)^3}=\sqrt[2]{(5^3)^2}=5^3=125$
d) $8^{2/3}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{(2^3)^2}=\sqrt[3]{(2^2)^3}=2^2=4$


$\square$

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Ejercicio número 72 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe con un solo radical:
a) $$\sqrt{\sqrt{a}}$$
b) $$\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}$$

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SOLUCIÓN.
a) $\sqrt{\sqrt{a}}=\left(\left(a\right)^{1/2}\right)^{1/2}=\left(a\right)^{(1/2)\cdot (1/2)}=a^{1/4}=\sqrt[4]{a}$

b) $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}=\left(\left(\left(x\right)^{1/2}\right)^{1/2}\right)^{1/2}=x^{(1/2)\cdot (1/2)\cdot (1/2)}=x^{1/8}=\sqrt[8]{x}$


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$\square$
Ejercicio número 73 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Racionaliza las siguientes expresiones radicales:
a) $$\dfrac{8}{\sqrt{2}}$$
b) $$\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$
c) $$\dfrac{6}{\sqrt{3}}$$
d) $$\dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$$

SOLUCIÓN.
a) $\dfrac{8}{\sqrt{2}}=\dfrac{8}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{8\,\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{8\,\sqrt{2}}{2}=4\,\sqrt{2}$

b) $\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{(1+\sqrt{3})\,\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}$

c) $\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\,\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{6\,\sqrt{3}}{3}=2\,\sqrt{3}$

d) $\dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{(1-\sqrt{5})\,\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-5}{5}$


$\square$

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Ejercicio número 63 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando las propiedades de los logarimos y la calculadora, halla los siguientes logaritmos, redondeando el resultado a la cuarta cifra decimal
a) $\log\,3^{15}$
b) $\log\,\sqrt[7]{23}$
c) $\log\,(0,5^{30}\cdot 7^{23})$

SOLUCIÓN.
a) $\log\,3^{15}=15\,\log\,3 \approx 7,1568$

b) $\log\,\sqrt[7]{23}=\log\,23^{1/7}=\dfrac{1}{7}\,\log\,23\approx 0,1945$

c) $\log\,(0,5^{30}\cdot 7^{23})=\log\,0,5^{30}+\log\, 7^{23}=30\,\log\,0,5+23\,\log\,7\approx 10,4064$


$\square$

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Ejercicio número 65 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Sabiendo que $\log\,2\approx 0,3010$, calcula:
a) $\log\,25$
b) $\log\,50$

SOLUCIÓN.
a) $\log\,25=\log\,\dfrac{100}{4}=\log\,100-\log\,4=\log\,10^2-\log\,2^2=$
  $=2\,\log\,10-2\,\log\,2=2\cdot 1-2\log\,2\approx 2\,(1-0,3010)=1,3980$

b) $\log\,50=\log\,\dfrac{100}{2}=\log\,100-\log\,2=\log\,10^2-\log\,2=$
  $=2\,\log\,10-\log\,2=2\cdot 1-\log\,2\approx 2-0,3010=1,6990$

$\square$

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Ejercicio número 78 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Racionaliza las siguientes expresiones radicales:
a) $$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$
b) $$\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$

SOLUCIÓN.
a) $\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}}=$

  $=\dfrac{(\sqrt{3})^2+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2))}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{(\sqrt{3})^2+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2)}{3-2}=$

  $=\dfrac{3+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+2}{1}=5+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5+\sqrt{3\cdot 2}=5+\sqrt{6}$

b) $\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}}=$

  $=\dfrac{(\sqrt{3})^2-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2))}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{(\sqrt{3})^2-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2)}{3-2}=$

  $=\dfrac{3-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+2}{1}=5-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5-\sqrt{3\cdot 2}=5-\sqrt{6}$


$\square$

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Ejercicio número 79 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe la expresión en un solo logaritmo:
$$\log\,5+\log\,6-\log\,2$$

SOLUCIÓN.
$\log\,5+\log\,6-\log\,2=\log\,\dfrac{5\cdot 6}{2}=\log\,\dfrac{30}{2}=\log\,15$


$\square$

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Ejercicio número 80 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe la expresión en un solo logaritmo:
$$2\,\log\,7+3\,\log\,5$$

SOLUCIÓN.
$2\,\log\,7+3\,\log\,5=\log\,7^2+\log\,5^3=\log\,(7^2\cdot 5^3)=\log\,(49\cdot 125)=\log\,6\,125$


$\square$

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